本文主要是介绍等比数列(幂级数)的意义和应用,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!
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等比数列(幂级数)的意义和应用
幂级数在理工科分析中有重要意义,其中最重要的即所谓的泰勒级数。但这里讨论其中最简单的幂级数,也就是所谓的“无穷等比数列”。
对上式的讨论不失一般性。
对于无穷级数,自然首先要讨论的是它的收敛性,而式(1)即是我们熟知的等比数列,只是现在该数列有无穷多项,有限等比数列有求和公式:
证明上式需要用到数学归纳法
…
∴设
则
得证
显然(2)式的收敛域为:(-1,1),那么在该收敛域内有和函数
于是有下面两个重要的级数展开
级数1:
其证明如下:
∵
对两边进行积分
上式中,因为x=0时,左边等于0,所以C=0。进而
注意(3)式的收敛域,因为把x=1代入时,根据莱布尼茨辨别法,上式右边的级数是收敛的。
得证
级数2:
其证明如下:
∵
同样对两边积分
同样因为x=0时,arctan(0)=0,所以C=0。因此
同样把x=±1代入上式右端时,根据莱布尼茨辨别法是收敛的。
得证
这个简单的级数在实际问题中的应用主要是x<<1时,级数可以略去高阶小项,如
下面举两个实际例子。
例1:
因为MOS管沟道夹断时漏电流公式为
此时继续增大漏源电压VDS,就会引起所谓的“沟道长度调制效应”,既有
L'=L-ΔL,这时上面的公式中的L就要被L'取代,但是由于不知道ΔL具体是多少,所以直接代入意义不大。当认为ΔL<<L,则有
代入(5)式,有
这里ID0是沟道刚夹断时的漏电流。而λ是一个与工艺有关的参数,那么ΔL/L≈λVDS有什么依据?如下图
图1
当认为VDS1>>VGS-VTH时(图1实际上对VGS-VTH有所夸张),则ΔIDS=IDS1-IDS0与VDS1近似成线性关系,因此当通过实测或仿真得到MOS晶体管的输出特性曲线后可以据曲线近似得到λ的值。
例2:
爱因斯坦的狭义相对论理论中,有著名的质能方程E=mc2,而牛顿理论有动能方程E=(1/2)mv2。由于低速情况下,牛顿理论已经获得巨大的成功。因此新的理论不能否定牛顿理论在低速情况下的正确性,所以当v<<c时,质能方程要与牛顿理论相融洽。
当然质能方程中的质量是动质量,根据相对论有
可见当物体低速运动时,能量有两部分:一部分为以静质量形式存在的“固有能量”,另一部分是动能,这部分退化为牛顿动能理论的形式。m0是物体的静质量。上面β=v/c,而在忽略高阶小项时之所以把β4拆开,而忽略(3/4)β4之后的部分在于这样容易开根号,当然还可以任意得选择忽略高阶小项,最后还是得到相同结果,或者干脆只留下m0c2。因为从上面的结果可以看出,速度远小于光速时动能相比与固有能是很小的,但这不是我们讨论的目的。
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