参数连续性与几何连续性的区别

曲线间连接的光滑度的度量：

• 参数连续性：组合参数曲线在连接处具有直到n阶连续导矢，即n阶连续可微，称为n阶参数连续性$C^n$
• 几何连续性：组合曲线在连接处满足不同于$C^n$的某一组约束条件，称为具有n阶几何连续性$G^n$。

对于参数$t\in [0,1]$的两条曲线P(t)和Q(t)

• 若要求在结合处达到$C^0$连续或$G^0$连续，即两曲线在结合处位置连续：$P(1)=Q(0)$

• 若要求在结合处达到$G^1$连续，就是说两条曲线在结合处在满足$G^0$连续的条件下，并有公共的切矢：$Q^{\prime }(0)=\alpha P^{\prime }(1)(\alpha >0)$

  • 当a＝1时，$G^1$连续就成为$C^1$连续
    • 若P 和Q 在连接处已有$C^0,C^1$连续性且曲率的大小和方向均相等，即$P^{\prime \prime }(1)=Q^{\prime \prime }(0)$则P 和Q 在连接处具有$C^2$连续
    • 若P 和Q 在连接处已有$C^0,C^1$连续性且曲率的大小不相等但方向相等，则P 和Q 在连接处具有$G^2$连续。

• 若要求在结合处达到$G^2$连续，就是说两条曲线在结合处在满足$G^1$连续的条件下，并有公共的曲率矢：

  

  • 这个关系可写为：$Q^{\prime \prime }(0)={\alpha }^2{P}^{\prime \prime }(1)+\beta P^{\prime }(1)$
  • $\beta$为任意常数，当$\alpha =1,\beta =0$时，$G^2$连续就成为$C^2$连续