本文主要是介绍完全背包问题-leetcode-08.11. 硬币，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！
问题描述https://leetcode-cn.com/problems/coin-lcci/
面试题 08.11. 硬币
硬币。给定数量不限的硬币，币值为25分、10分、5分和1分，编写代码计算n分有几种表示法。(结果可能会很大，你需要将结果模上1000000007)
等价
背包。给定数量物品，物品体积为25、10、5和1，编写代码背包体积为n，装物品的方法有多少种。(结果可能会很大，你需要将结果模上1000000007)
关键点
１．定义dp数组，dp[i][j]表示前i个物品(本例是硬币)，在背包大小(本例是分数)为j的情况下有多少种组合，dp[m][n]就是要求的结果。
２．初始化
前m个硬币，组成0分的种类都是1；前0个硬币，组成非0分的种类都是0. 即dp[0][0] =dp[1][0]...=dp[m][0] =1;dp[0][1]=dp[0][2]...=dp[0][n] =0
３．求解过程。
前一个硬币，组成分数大小为1到n, 种类分别为dp[1][0], dp[1][1], ... , dp[1][n]
前两个硬币，组成分数大小为1到n, 种类分别为dp[2][0], dp[2][1], ... , dp[2][n]
...
前i个硬币，组成分数大小为1到n, 最大价值分别为dp[i][0], dp[i][1], ... , dp[i][n]
４．递推公式. 求dp[i][j]共有两种情况, 装入第i个硬币或者不装入第i个硬币。
装入第i个硬币，剩下的分数为j-coins[i-1], 即从前i个硬币里面组合j-coins[i-1]分，对应的种类等价dp[i][j - coin[i - 1]]；
不装入第i个硬币，剩下的分数不变，即从前i-1个硬币里面组合j分，对应的种类dp[i - 1][j]；
即递推公式为dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j - coins[j-coins[i - 1]]]
class Solution(object):def waysToChange(self, n):""":type n: int:rtype: int"""coins = [1, 5, 10, 25]dp = [[0] * (n + 1) for i in range(len(coins) + 1)]dp[0][0] = 1for i in range(1, len(coins) + 1):dp[i][0] = 1for j in range(1, n + 1):dp[i][j] = dp[i - 1][j]if j >= coins[i - 1]:dp[i][j] += dp[i][j - coins[i - 1]]return dp[-1][-1]def test():s = Solution()print s.waysToChange(5) == 2 print s.waysToChange(10) == 4if __name__ == '__main__':test()dp空间优化分析1
分析递推公式，dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-coins[i - 1]]， 可以看出，在求解dp[i][j]时，不需要保存前i-1行，只需要保存第i行(因为要用到dp[i][j-coins[i - 1]])，和第i-1行的第j个元素(因为要用到dp[i-1][j])。 如果只用一行表示，代码如下。
class Solution(object):def waysToChange(self, n):""":type n: int:rtype: int"""coins = [1, 5, 10, 25]dp = [0] * (n + 1)dp[0] = 1for i in range(1, len(coins) + 1):for j in range(1, n + 1):if j >= coins[i - 1]:dp[j] += dp[j - coins[i - 1]]return dp[-1] % 1000000007def test():s = Solution()print s.waysToChange(5) == 2 print s.waysToChange(10) == 4if __name__ == '__main__':test()
和之前代码相比，少了dp[i][j] = dp[i - 1][j]。因为在遍历到第i行第j列时，还没更新dp[j]时，dp[j]其实是在遍历第i-1行第j列时算出的，相当于前面的dp[i-1][j]。正因为没有覆盖dp[i-1][j]信息，所以dp才可以用一维数组替换二维数组
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