本文主要是介绍【区间dp、前缀和】 P1220 关路灯 题解,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!
关路灯
题目描述
某一村庄在一条路线上安装了 n n n 盏路灯,每盏灯的功率有大有小(即同一段时间内消耗的电量有多有少)。老张就住在这条路中间某一路灯旁,他有一项工作就是每天早上天亮时一盏一盏地关掉这些路灯。
为了给村里节省电费,老张记录下了每盏路灯的位置和功率,他每次关灯时也都是尽快地去关,但是老张不知道怎样去关灯才能够最节省电。他每天都是在天亮时首先关掉自己所处位置的路灯,然后可以向左也可以向右去关灯。开始他以为先算一下左边路灯的总功率再算一下右边路灯的总功率,然后选择先关掉功率大的一边,再回过头来关掉另一边的路灯,而事实并非如此,因为在关的过程中适当地调头有可能会更省一些。
现在已知老张走的速度为 1 m / s 1m/s 1m/s,每个路灯的位置(是一个整数,即距路线起点的距离,单位: m m m)、功率( W W W),老张关灯所用的时间很短而可以忽略不计。
请你为老张编一程序来安排关灯的顺序,使从老张开始关灯时刻算起所有灯消耗电最少(灯关掉后便不再消耗电了)。
思路
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记一共有 n n n 个路灯,老张开始在第 c c c 个路灯处, d i d_i di 表示第 i i i 个路灯每次的消耗, m i m_i mi 表示第 i i i 个路灯所处的地方, d p l , r , 0 , d p l , r , 1 dp_{l,r,0},dp_{l,r,1} dpl,r,0,dpl,r,1 表示关闭第 l l l 个到第 r r r 个路灯,最后停留在 l , r l,r l,r 的耗电量。
显而易见,如果 l ≤ r < c l \leq r<c l≤r<c 或 c < l ≤ r c < l \leq r c<l≤r ,则无解。不妨令上诉情况的 d p l , r , 0 = d p l , r , 1 = 1 0 18 dp_{l,r,0}=dp_{l,r,1} = 10^{18} dpl,r,0=dpl,r,1=1018,避免对后续取值造成影响。
考虑 d p l , r dp_{l,r} dpl,r 转移,以 d p l , r , 0 dp_{l,r,0} dpl,r,0 为例。理论上来讲, d p l , r , 0 dp_{l,r,0} dpl,r,0 可以由 d p l + 1 , r , 0 , d p l + 1 , r , 1 , d p l , r − 1 , 0 , d p l , r − 1 , 1 dp_{l+1,r,0},dp_{l+1,r,1},dp_{l,r-1,0},dp_{l,r-1,1} dpl+1,r,0,dpl+1,r,1,dpl,r−1,0,dpl,r−1,1 四种情况推导而来,但观察到后两种情况实际上是先要从 r − 1 r-1 r−1 再到 r r r 最后再到 l l l,则实际上可以改变为如下情况:
d p l + 1 , r , 0 , d p l + 1 , r , 1 , d p l , r , 1 dp_{l+1,r,0},dp_{l+1,r,1},dp_{l,r,1} dpl+1,r,0,dpl+1,r,1,dpl,r,1
以 d p l + 1 , r , 0 dp_{l+1,r,0} dpl+1,r,0 为例,
d p l , r , 0 = min ( d p l , r , 0 , d p [ l + 1 , r , 0 + d i s ( l , l + 1 ) × ( ∑ i = 1 l d i + ∑ i = r + 1 n d i ) ) dp_{l,r,0} = \min(dp_{l,r,0,dp_[l+1,r,0} + dis(l,l+1) \times (\sum_{i=1}^{l}{d_i} + \sum_{i=r+1}^{n}{d_i})) dpl,r,0=min(dpl,r,0,dp[l+1,r,0+dis(l,l+1)×(i=1∑ldi+i=r+1∑ndi)),其中 d i s ( i , j ) dis(i,j) dis(i,j) 表示从 i i i到 j j j 距离:
int dis(int l,int r) { return abs(m[l] - m[r]);}
∑ i = 1 l d i + ∑ i = r + 1 n d i \sum_{i=1}^{l}{d_i} + \sum_{i=r+1}^{n}{d_i} ∑i=1ldi+∑i=r+1ndi 部分考虑前缀和 解决,这里记为 w a s t e ( i , j ) waste(i,j) waste(i,j)
int waste(int l,int r) {return d[l] + d[n] - d[r - 1];}
最后别忘记 d p l , r , 0 = min ( d p l , r , 0 , d p l , r , 1 + d i s ( l , r ) × w a s t e ( l − 1 , r + 1 ) dp_{l,r,0} = \min(dp_{l,r,0},dp_{l,r,1} +dis(l,r) \times waste(l-1,r+1) dpl,r,0=min(dpl,r,0,dpl,r,1+dis(l,r)×waste(l−1,r+1),但其实没多少用。
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n,c;
int d[55],m[55];
int dp[55][55][2];
int dis(int l,int r) { return abs(m[l] - m[r]);}
int waste(int l,int r) {return d[l] + d[n] - d[r - 1];}
signed main() {scanf("%lld %lld",&n,&c);for(int i = 1;i <= n;i++) scanf("%lld %lld",&m[i],&d[i]),d[i] += d[i - 1];for(int i = 1;i < c;i++) {for(int j = 1;j < c;j++) dp[i][j][0] = dp[i][j][1] = 1e18;}for(int i = c + 1;i <= n;i++) {for(int j = c + 1;j <= n;j++) dp[i][j][0] = dp[i][j][1] = 1e18;}for(int i = 2;i <= n;i++) {for(int l = c;l >= 1 and l + i - 1 >= c;l--) {int r = l + i - 1;dp[l][r][0] = dp[l][r][1] = 1e18;dp[l][r][0] = min(dp[l][r][0],dp[l + 1][r][0] + dis(l,l + 1) * waste(l,r + 1));dp[l][r][0] = min(dp[l][r][0],dp[l + 1][r][1] + dis(l,r) * waste(l,r + 1));dp[l][r][1] = min(dp[l][r][1],dp[l][r - 1][0] + dis(l,r) * waste(l - 1,r));dp[l][r][1] = min(dp[l][r][1],dp[l][r - 1][1] + dis(r - 1,r) * waste(l - 1,r));dp[l][r][0] = min(dp[l][r][0],dp[l][r][1] + dis(l,r) * waste(l - 1,r + 1));dp[l][r][1] = min(dp[l][r][1],dp[l][r][0] + dis(l,r) * waste(l - 1,r + 1));}}printf("%lld\n",min(dp[1][n][0],dp[1][n][1]));return 0;
}
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