《算法竞赛进阶指南》0x32_2约数

本文主要是介绍《算法竞赛进阶指南》0x32_2约数，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

定义
$\forall a,b\in \mathbb{N},若gcd(a,b)=1,则称a，b互质$。
对于三个数或更多个数的情况，我们把$gcd(a,b,c)=1$的情况称为a，b，c互质。把$gcd(a,b)=gcd(a,c)=gcd(b,c)=1$称为a,b,c两两互质。后者显然是一个更强的条件。
欧拉函数
[1,N]中与N互质的数的个数被称为欧拉函数，记为$\varphi (N)$。
若在算数基本定理中，$N=p_1^{c_1}{p}_2^{c_2}...p_m^{c_m}$,则：
$$\varphi (N)=N\ast \frac{p_1-1}{p1}\ast \frac{p_2-1}{p2}\ast ...\ast \frac{p_m-1}{pm}=N\ast \prod _{质数p|N}(1-\frac{1}{p})$$

证明：
设p是N的质因子，[1,N]中p的倍数有p，2p，3p,…,(N/p)*p,共N/p个。若q也是N的质因子，则[1,N]中q的倍数有N/q个。如果我们把这N/p+N/q个数去掉，那么p*q的倍数被去掉了两次，需要加一次回来。
因此[1,N]中不与N含有任何共同质因子p或q的数的个数为：
$$N-\frac{N}{p}-\frac{N}{q}+\frac{N}{pq}=N(1-\frac{1}{p})(1-\frac{1}{q})$$
实际上这种思想叫做容斥原理，在N的全部质因子上使用容斥原理，可得到[1,N]中不与N含有任何公共质因子的数的个数，也就是与N互质的数的个数。

根据欧拉函数的计算式，我们只需要分解质因数，便可以顺便求出欧拉函数。

int phi(int n)
{int ans = n;for (int i = 2; i <= sqrt(n); i ++ )if (n % i == 0){ans = ans / i * (i - 1);while (n % i == 0) n /= i;}if (n > 1) ans = ans / n * (n - 1);return ans;
}

性质1-2
1.$\forall n>1,[1,n]中与n互质的数的和为n\ast \varphi (n)/2$。
2.$若a,b互质,则\varphi (ab)=\varphi (a)\ast \varphi (b)$。

证明：
因为$gcd(n,x)=gcd(n,n-x)$,所以与n不互质的数x，n-x成对出现，平均值为n/2,因此与n互质的数平均值也是n/2，可得性质1。
根据欧拉函数的计算式，对a，b分解质因数直接可得性质2。

积性函数
如果a，b互质，有$f(ab)=f(a)\ast f(b)$,那么称函数f为积性函数。

性质3-6
3.若f是积性函数，且在算术基本定理中$n={\prod }_{i=1}^m{p}_i^{c_i}$,则$f(n)={\prod }_{i=1}^{m}f(p_i^{c_i})$。
4.设p为质数，若$p|n$且$p^2|n$,则$\varphi (n)=\varphi (n/p)\ast p。$
5.设p为质数，若$p|n$且$p^2!|n$,则$\varphi (n)=\varphi (n/p)\ast (p-1)。$
6.${\sum }_{d|n}\varphi (d)=n$。

证明：
性质3显然。
若$p|n$且$p^2|n$,则n,n|p包含相同的质因子，只是p的指数不同，把两者按照欧拉函数的计算公式写出，二者相除，商为p，所以性质4成立。
若$p|n$且$p^2!|n$则p,n|p互质，$\varphi (n)=\varphi (n/p)\ast \varphi (p)$，而$\varphi (p)=p-1$，所以性质5成立。

利用线性筛求1到n所有数的欧拉函数

void init(int n)
{phi[1] = 1;for (int i = 2; i <= n; i ++ ){if (!st[i]){prime[cnt ++ ] = i;phi[i] = i - 1;}for (int j = 0; prime[j] * i <= n; j ++ ){st[i * prime[j]] = 1;if(i % prime[j] == 0){phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];//性质4break;}phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);//性质5}}
}

acwing203.可见的点

如果所有的点与原点的连接构成直线$y=\frac{a}{b}x$的话，本题要求的就是在1到n范围内互质的(a,b)的对数是多少，按照y=x分成上下两部分，本题的答案即为$2\ast \varphi (n)+1$。

#include <iostream>
using namespace std;
#define N 1010
bool st[N];
int prime[N];
int phi[N];
int cnt = 0;void init(int n)
{phi[1] = 1;for (int i = 2; i <= n; i ++ ){if (!st[i]){prime[cnt ++ ] = i;phi[i] = i - 1;}for (int j = 0; prime[j] * i <= n; j ++ ){st[i * prime[j]] = 1;if(i % prime[j] == 0){phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];break;}phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);}}
}
int main()
{init(N - 1);int n, m;cin >> m;for (int T = 1; T <= m; T ++ ){int ans = 1;cin >> n;for (int k = 1; k <= n; k ++ ) ans += 2 * phi[k];cout << T << ' ' << n << ' ' << ans << endl;}return 0;
}

这篇关于《算法竞赛进阶指南》0x32_2约数的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

---