【自由能系列(中级)】自由能与变分自由能——从状态到配置的效益最大化

2024-08-30 00:12

本文主要是介绍【自由能系列(中级)】自由能与变分自由能——从状态到配置的效益最大化,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

自由能与变分自由能——从状态到配置的效益最大化

关键词提炼

#自由能 #变分自由能 #状态函数 #配置函数 #效益最大化 #物理系统 #优化问题

第一节:自由能与变分自由能的类比与核心概念

1.1 自由能与变分自由能的类比

自由能和变分自由能可以被视为物理系统的“效益计算器”。
自由能衡量了系统在一个给定状态下的“效益”,而变分自由能则进一步考虑了系统配置的变化对效益的影响。
就像企业家在经营中不仅要考虑当前的盈利状况,还要考虑如何通过调整经营策略来优化长期效益
在这里插入图片描述

1.2 相似公式比对

  • 自由能公式 F = U − T S F = U - TS F=UTS,其中U是内能,T是温度,S是熵。它描述了一个系统在给定状态下的效益。
  • 变分自由能公式:在更复杂的系统中,变分自由能可能涉及对多个配置参数的优化,形如 δ F = δ U − T δ S − ∑ i μ i δ N i \delta F = \delta U - T\delta S - \sum_i \mu_i \delta N_i δF=δUTδSiμiδNi,其中 δ \delta δ表示变分, μ i \mu_i μi是化学势, N i N_i Ni是粒子数。这描述了系统配置变化时的效益变化。

第二节:自由能与变分自由能的核心概念与应用

2.1 核心概念

核心概念定义比喻或解释
自由能F系统在给定状态下的效益度量。像是企业的当前盈利状况,反映了系统在当前状态下的“效益”。
变分自由能 δ F \delta F δF系统配置变化时效益的变化量。类似于企业通过调整经营策略来探索潜在的盈利增长。
内能U系统内部的能量总和。像是企业的固定资产和流动资金的总和。
熵S系统无序度的度量,反映了系统内部状态的多样性。类似于企业内部管理的混乱程度或市场的不确定性。
温度T系统热状态的度量,影响系统效益与熵之间的权衡。类似于市场环境的变化,影响企业的盈利与风险之间的权衡。

2.2 优势与劣势

  • 量化分析:自由能和变分自由能提供了量化系统效益的方法,使得分析和优化更加客观和准确。
  • 广泛应用:这些概念在物理学、化学、生物学等领域都有广泛应用,为各种系统的优化提供了理论基础。
  • 劣势:计算复杂,特别是在涉及多变量和复杂配置的系统中,变分自由能的计算可能变得非常复杂。

2.3 与系统优化的类比

自由能和变分自由能在系统优化中扮演着“导航仪”的角色,它们指导我们如何在众多可能的配置中找到效益最大化的状态,就像导航仪指导我们找到从起点到终点的最佳路径一样。

第三节:公式探索与推演运算

3.1 自由能的基本形式

自由能的基本形式为:

F = U − T S F = U - TS F=UTS

其中,F是自由能,U是内能,T是温度,S是熵。这个公式描述了系统在给定状态下的效益。

3.2 变分自由能的推导

当系统配置发生变化时,我们需要考虑这种变化对自由能的影响。变分自由能可以通过对自由能公式进行变分运算得到:

δ F = δ U − T δ S − ∑ i μ i δ N i \delta F = \delta U - T\delta S - \sum_i \mu_i \delta N_i δF=δUTδSiμiδNi

其中, δ \delta δ表示变分, μ i \mu_i μi是化学势,与粒子数 N i N_i Ni的变化相关。这个公式描述了系统配置变化时效益的变化量。

3.3 具体实例与推演

假设我们有一个简单的物理系统,其内能U是温度T和体积V的函数,即U(T, V)。系统的熵S也是T和V的函数,即S(T, V)。那么,自由能F可以表示为:

F ( T , V ) = U ( T , V ) − T S ( T , V ) F(T, V) = U(T, V) - TS(T, V) F(T,V)=U(T,V)TS(T,V)

如果系统体积发生变化,我们可以计算变分自由能来评估这种变化对系统效益的影响:

δ F = ∂ F ∂ V δ V = ( ∂ U ∂ V − T ∂ S ∂ V ) δ V \delta F = \frac{\partial F}{\partial V} \delta V = \left( \frac{\partial U}{\partial V} - T\frac{\partial S}{\partial V} \right) \delta V δF=VFδV=(VUTVS)δV

通过求解这个方程,我们可以找到使系统效益最大化的最佳体积配置。

第四节:相似公式比对

  • 自由能与吉布斯自由能

    • 共同点:都是衡量系统效益的物理量。
    • 不同点:自由能更侧重于系统状态,而吉布斯自由能则进一步考虑了系统的化学势和粒子数变化。
  • 变分自由能与拉格朗日量

    • 相似点:都涉及对系统配置的优化。
    • 差异:变分自由能主要用于物理和化学系统,而拉格朗日量则更多用于力学系统的优化问题。

第五节:核心代码与可视化

这段代码使用Python的numpymatplotlib库来计算和可视化一个简单的物理系统的自由能和变分自由能。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns# 定义内能和熵的函数
def U(T, V):return T * V**2  # 假设内能与温度和体积的平方成正比def S(T, V):return T * V     # 假设熵与温度和体积成正比# 计算自由能
def F(T, V):return U(T, V) - T * S(T, V)# 计算变分自由能
def delta_F(T, V, delta_V):dU_dV = 2 * T * V  # 内能对体积的偏导dS_dV = T          # 熵对体积的偏导return (dU_dV - T * dS_dV) * delta_V# 设置温度和体积范围
T = 2.0
V_range = np.linspace(0.1, 2.0, 100)# 计算自由能和变分自由能
F_values = [F(T, V) for V in V_range]
delta_F_values = [delta_F(T, V, 0.1) for V in V_range]# 可视化结果
sns.set_theme(style="whitegrid")
plt.plot(V_range, F_values, label='Free Energy F(V)')
plt.plot(V_range, delta_F_values, label='Variational Free Energy δF(V)')
plt.xlabel('Volume V')
plt.ylabel('Energy')
plt.title('Free Energy and Variational Free Energy')
plt.legend()# 添加重点区域的标注
plt.annotate('Minimum Free Energy', xy=(V_range[np.argmin(F_values)], np.min(F_values)), xytext=(0.6, 0.8), textcoords='axes fraction',bbox=dict(boxstyle='round,pad=0.5', fc='yellow', alpha=0.5),arrowprops=dict(arrowstyle='->', connectionstyle='arc3,rad=0'))plt.show()# 打印更详细的输出信息
print("Free energy and variational free energy plots have been generated and displayed.\nThe plots illustrate the variation of free energy F(V) and variational free energy δF(V) with respect to volume V.")

这段代码首先定义了内能和熵的函数,然后计算了自由能和变分自由能,并使用matplotlib库进行了可视化。通过可视化,我们可以直观地看到自由能和变分自由能随系统体积的变化情况,从而找到使系统效益最大化的最佳配置。

代码输出内容
在这里插入图片描述

这篇关于【自由能系列(中级)】自由能与变分自由能——从状态到配置的效益最大化的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助!



http://www.chinasem.cn/article/1119247

相关文章

SpringCloud动态配置注解@RefreshScope与@Component的深度解析

《SpringCloud动态配置注解@RefreshScope与@Component的深度解析》在现代微服务架构中,动态配置管理是一个关键需求,本文将为大家介绍SpringCloud中相关的注解@Re... 目录引言1. @RefreshScope 的作用与原理1.1 什么是 @RefreshScope1.

SpringBoot日志配置SLF4J和Logback的方法实现

《SpringBoot日志配置SLF4J和Logback的方法实现》日志记录是不可或缺的一部分,本文主要介绍了SpringBoot日志配置SLF4J和Logback的方法实现,文中通过示例代码介绍的非... 目录一、前言二、案例一:初识日志三、案例二:使用Lombok输出日志四、案例三:配置Logback一

springboot security之前后端分离配置方式

《springbootsecurity之前后端分离配置方式》:本文主要介绍springbootsecurity之前后端分离配置方式,具有很好的参考价值,希望对大家有所帮助,如有错误或未考虑完全的... 目录前言自定义配置认证失败自定义处理登录相关接口匿名访问前置文章总结前言spring boot secu

一文详解SpringBoot响应压缩功能的配置与优化

《一文详解SpringBoot响应压缩功能的配置与优化》SpringBoot的响应压缩功能基于智能协商机制,需同时满足很多条件,本文主要为大家详细介绍了SpringBoot响应压缩功能的配置与优化,需... 目录一、核心工作机制1.1 自动协商触发条件1.2 压缩处理流程二、配置方案详解2.1 基础YAML

springboot简单集成Security配置的教程

《springboot简单集成Security配置的教程》:本文主要介绍springboot简单集成Security配置的教程,具有很好的参考价值,希望对大家有所帮助,如有错误或未考虑完全的地方,... 目录集成Security安全框架引入依赖编写配置类WebSecurityConfig(自定义资源权限规则

SpringBoot中封装Cors自动配置方式

《SpringBoot中封装Cors自动配置方式》:本文主要介绍SpringBoot中封装Cors自动配置方式,具有很好的参考价值,希望对大家有所帮助,如有错误或未考虑完全的地方,望不吝赐教... 目录SpringBoot封装Cors自动配置背景实现步骤1. 创建 GlobalCorsProperties

Spring Boot结成MyBatis-Plus最全配置指南

《SpringBoot结成MyBatis-Plus最全配置指南》本文主要介绍了SpringBoot结成MyBatis-Plus最全配置指南,包括依赖引入、配置数据源、Mapper扫描、基本CRUD操... 目录前言详细操作一.创建项目并引入相关依赖二.配置数据源信息三.编写相关代码查zsRArly询数据库数

SpringBoot配置Ollama实现本地部署DeepSeek

《SpringBoot配置Ollama实现本地部署DeepSeek》本文主要介绍了在本地环境中使用Ollama配置DeepSeek模型,并在IntelliJIDEA中创建一个Sprin... 目录前言详细步骤一、本地配置DeepSeek二、SpringBoot项目调用本地DeepSeek前言随着人工智能技

如何自定义Nginx JSON日志格式配置

《如何自定义NginxJSON日志格式配置》Nginx作为最流行的Web服务器之一,其灵活的日志配置能力允许我们根据需求定制日志格式,本文将详细介绍如何配置Nginx以JSON格式记录访问日志,这种... 目录前言为什么选择jsON格式日志?配置步骤详解1. 安装Nginx服务2. 自定义JSON日志格式各

使用Python实现网络设备配置备份与恢复

《使用Python实现网络设备配置备份与恢复》网络设备配置备份与恢复在网络安全管理中起着至关重要的作用,本文为大家介绍了如何通过Python实现网络设备配置备份与恢复,需要的可以参考下... 目录一、网络设备配置备份与恢复的概念与重要性二、网络设备配置备份与恢复的分类三、python网络设备配置备份与恢复实