数学建模赛前备赛——模拟退火算法

2024-08-29 07:52

本文主要是介绍数学建模赛前备赛——模拟退火算法,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

一.什么是智能优化算法

智能优化算法本质上是一个优化算法,它通过不断优化模型的参数,使得系统表现达到最优,常见的只能优化算法有很多,比如说蚁群算法,遗传算法以及我们今天的主角——模拟退火算法。

二.模拟算法的前身——爬山算法

爬山算法是一种简单的优化算法,它每次会从当前解的临近解空间中选取一个最优解来作为当前解,直到达到一个局部最优解,但是爬山算法有一个致命的缺陷,就是容易陷入局部最优解,无法跳出局部最优解,从而无法找到全局最优解。像下面这个图:
在这里插入图片描述

如果我们从C开始,按照爬山算法,我们最终会陷入局部最优解A,无法找到全局最优解B。其实也是比较好理解,如果把图像看做某个函数的图像,我们找到的只是一个极值点,而不一定是最大值点或者最小值点。

三.模拟退火算法的原理

模拟退火算法是一种基于概率的全局优化算法,它模拟了金属退火的过程,通过在解空间中随机搜索,并利用概率接受较差的解,从而避免陷入局部最优解。模拟退火算法的基本思想是:在高温下,系统中的粒子具有较高的能量,可以自由地移动和交换位置,从而在解空间中搜索到全局最优解。随着温度的降低,粒子的能量逐渐减少,搜索范围逐渐缩小,最终在低温下达到全局最优解。
相比于爬山算法,它引入了温度这一变量设计了一个高温,让粒子的初始状态保持了一个较大活性,可以尝试更多可能性,进而跳出局部最优解,最终找到全局最优解。

四. 算法的实现流程

  • 初始化:初始化温度T(充分大),每个T值的迭代次数L,降温系数alpha(0,1)和终止温度eps(充分小)
  • 随机生成初始解A,计算对应的f(A)
  • 在A附近生成新解,计算增量
  • 判断是否接受新解
  • 降温
  • 判断是否达到终止条件, 如果达到,则结束,否则回到第二步

五.算法的为伪代码实现

我们可以将模拟退火算法写作一个双重迭代算法,分为下面的两个过程:

  • 外循环(退火过程):模拟初始温度很大温度逐渐下降的过程
  • 内循环(搜索过程):模拟某一温度下粒子的跳动过程

首先是外循环:我们首先将固体达到较高的温度(设置一个较高的初始的温度)。然后我们根据降温系数alpha使温度按照一定的比例下降,当达到终止温度eps时,冷却结束,模拟退火结束

T=2000 #初始温度
eps=1e-8  #终止温度
alpha=0.99  #降温系数(越接近1结果越精确)
while T>eps:T*=alpha

然后是内循环:我们首先在当前温度下随机选择一个解,然后计算这个解的适应度值,然后计算新解的适应度值,如果新解的适应度值比当前解的适应度值要高,那么我们就接受新解,否则我们以一定的概率接受新解,这个概率的计算公式为exp(-ΔE/T),其中ΔE为新解的适应度值减去当前解的适应度值,T为当前温度。然后我们更新当前解为新解,继续进行内循环,直到达到终止温度eps,模拟退火结束,大致的流程如下:
在这里插入图片描述

大家有可能不是很理解为什么在左边出现更差的结果我们还会有一定的可能接受这个较差的解,而这就是模拟退火算法的核心思想,它允许算法在搜索过程中接受较差的解,从而避免陷入局部最优解,最终找到全局最优解。

六.算法的优缺点

优点:

  • 模拟退火算法是一种全局优化算法,它可以在解空间中搜索到全局最优解,而不会陷入局部最优解。
  • 不受问题约束条件的限制,可以处理各种类型的优化问题。
  • 解与初始解无关,算法的搜索过程是随机的,因此可以避免陷入局部最优解。
  • 可以灵活地调整参数,如初始温度、降温系数和终止温度等,来平衡搜素时间与搜素质量。

缺点:

  • 模拟退火算法的计算复杂度较高,对于大规模问题,计算时间较长。
  • 算法收敛速度较慢,需要较大的计算资源。
  • 需要合适的初始解与参数调整

七.算法的应用

这里我们以旅行商问题(Travelling Salesman Problem,TSP)为例,来演示模拟退火算法的应用。旅行商问题是一个经典的组合优化问题,要求找到一条最短的路径,使得旅行商能够访问所有的城市并返回到起点。旅行商问题是一个NP-hard问题,没有已知的高效算法可以解决所有实例。因此,模拟退火算法是一种有效的解决旅行商问题的方法,我们来看一下如何基于模拟退火算法解决旅行商问题,代码如下:

import random
import math
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 用来正常显示中文标签
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 用来正常显示负号class SA_TSP:def __init__(self, n, X, Y, n_Tk, r, T_f, T0):self.n = n  # 城市数量self.X = X  # 城市坐标self.Y = Y  # 城市坐标self.n_Tk = n_Tk  # 内循环次数self.r = r  # 降温系数self.T_f = T_f  # 终止温度self.T0 = T0  # 初始温度self.alpha = r  # 温度更新系数# 计算路径长度def fitness(self, X0):s = 0for i in range(self.n):if i != self.n - 1:s += np.sqrt((self.X[X0[i]] - self.X[X0[i + 1]]) ** 2 + (self.Y[X0[i]] - self.Y[X0[i + 1]]) ** 2)else:s += np.sqrt((self.X[X0[i]] - self.X[X0[0]]) ** 2 + (self.Y[X0[i]] - self.Y[X0[0]]) ** 2)return sdef exchange(self, X0, i, j):X1 = X0.copy()X1[i], X1[j] = X1[j], X1[i]return X1def initialX0(self, n):X0 = np.random.permutation(range(n))return X0def SA_TSP(self):X0 = self.initialX0(self.n)# 记录最优路径X_min = [X0]# 记录最优路径长度s_min = [self.fitness(X0)]k = 0while self.T0 > self.T_f:for _ in range(self.n_Tk):i, j = random.sample(range(self.n), 2)X1 = self.exchange(X0, i, j)s1 = self.fitness(X0)s2 = self.fitness(X1)# 更新历史最优解if s2 < min(s_min):s_min.append(s2)X_min.append(X1)else:s_min.append(s_min[-1])X_min.append(X_min[-1])# 判断是否更新解if s2 < s1:X0 = X1else:E = math.exp(-(s2 - s1) / self.T0)R = random.uniform(0, 1)if E > R:X0 = X1k += 1self.T0 *= self.alpha  # 温度更新# 绘制优化过程plt.plot(range(k+1), s_min)plt.xlabel('迭代次数')plt.ylabel('最优路径长度')plt.show()# 绘制最优路径W = X_min[-1]for i in range(self.n):if i != self.n - 1:plt.plot([self.X[W[i]], self.X[W[i + 1]]], [self.Y[W[i]], self.Y[W[i + 1]]], c='plum')else:plt.plot([self.X[W[i]], self.X[W[0]]], [self.Y[W[i]], self.Y[W[0]]], c='plum')plt.scatter(self.X, self.Y, c='red')plt.title("路线图")plt.xlabel("x")plt.ylabel("y")plt.show()return X_min[-1], s_min[-1]# 定义城市坐标
n = 30
city_x = [41, 37, 54, 25, 7, 2, 68, 71, 54, 83, 64, 18, 22, 83, 91, 25, 24, 58, 71, 74, 87,18, 13, 82, 62, 58, 45, 41, 44, 4]
city_y = [94, 84, 67, 62, 64, 99, 58, 44, 62, 69, 60, 54, 60, 46, 38, 38, 42, 69, 71, 78, 76,40, 40, 7, 32, 35, 21, 26, 35, 50]
# 内循环的迭代次数
n_Tk = 300
# 降温变化
r = 0.9
# 终止温度
T_f = 0.001
# 初始温度
T0 = 2000
# 创建对象
city30 = SA_TSP(n, city_x, city_y, n_Tk, r, T_f, T0)
# 方法
Xmin, smin = city30.SA_TSP()
print("最短路径为:", Xmin)
print("最短路径长度为:", smin)

运行结果如下:
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

相比于其他智能优化算法,模拟退火算法适用范围光,全局搜素能力强,不容易陷入局部最优解,这些都是我们可以在论文中去体现的东西,今天的算法介绍就到此为止了,下篇见

这篇关于数学建模赛前备赛——模拟退火算法的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助!



http://www.chinasem.cn/article/1117286

相关文章

SpringBoot实现MD5加盐算法的示例代码

《SpringBoot实现MD5加盐算法的示例代码》加盐算法是一种用于增强密码安全性的技术,本文主要介绍了SpringBoot实现MD5加盐算法的示例代码,文中通过示例代码介绍的非常详细,对大家的学习... 目录一、什么是加盐算法二、如何实现加盐算法2.1 加盐算法代码实现2.2 注册页面中进行密码加盐2.

Java时间轮调度算法的代码实现

《Java时间轮调度算法的代码实现》时间轮是一种高效的定时调度算法,主要用于管理延时任务或周期性任务,它通过一个环形数组(时间轮)和指针来实现,将大量定时任务分摊到固定的时间槽中,极大地降低了时间复杂... 目录1、简述2、时间轮的原理3. 时间轮的实现步骤3.1 定义时间槽3.2 定义时间轮3.3 使用时

如何通过Golang的container/list实现LRU缓存算法

《如何通过Golang的container/list实现LRU缓存算法》文章介绍了Go语言中container/list包实现的双向链表,并探讨了如何使用链表实现LRU缓存,LRU缓存通过维护一个双向... 目录力扣:146. LRU 缓存主要结构 List 和 Element常用方法1. 初始化链表2.

golang字符串匹配算法解读

《golang字符串匹配算法解读》文章介绍了字符串匹配算法的原理,特别是Knuth-Morris-Pratt(KMP)算法,该算法通过构建模式串的前缀表来减少匹配时的不必要的字符比较,从而提高效率,在... 目录简介KMP实现代码总结简介字符串匹配算法主要用于在一个较长的文本串中查找一个较短的字符串(称为

通俗易懂的Java常见限流算法具体实现

《通俗易懂的Java常见限流算法具体实现》:本文主要介绍Java常见限流算法具体实现的相关资料,包括漏桶算法、令牌桶算法、Nginx限流和Redis+Lua限流的实现原理和具体步骤,并比较了它们的... 目录一、漏桶算法1.漏桶算法的思想和原理2.具体实现二、令牌桶算法1.令牌桶算法流程:2.具体实现2.1

使用C#代码计算数学表达式实例

《使用C#代码计算数学表达式实例》这段文字主要讲述了如何使用C#语言来计算数学表达式,该程序通过使用Dictionary保存变量,定义了运算符优先级,并实现了EvaluateExpression方法来... 目录C#代码计算数学表达式该方法很长,因此我将分段描述下面的代码片段显示了下一步以下代码显示该方法如

Python中的随机森林算法与实战

《Python中的随机森林算法与实战》本文详细介绍了随机森林算法,包括其原理、实现步骤、分类和回归案例,并讨论了其优点和缺点,通过面向对象编程实现了一个简单的随机森林模型,并应用于鸢尾花分类和波士顿房... 目录1、随机森林算法概述2、随机森林的原理3、实现步骤4、分类案例:使用随机森林预测鸢尾花品种4.1

不懂推荐算法也能设计推荐系统

本文以商业化应用推荐为例,告诉我们不懂推荐算法的产品,也能从产品侧出发, 设计出一款不错的推荐系统。 相信很多新手产品,看到算法二字,多是懵圈的。 什么排序算法、最短路径等都是相对传统的算法(注:传统是指科班出身的产品都会接触过)。但对于推荐算法,多数产品对着网上搜到的资源,都会无从下手。特别当某些推荐算法 和 “AI”扯上关系后,更是加大了理解的难度。 但,不了解推荐算法,就无法做推荐系

康拓展开(hash算法中会用到)

康拓展开是一个全排列到一个自然数的双射(也就是某个全排列与某个自然数一一对应) 公式: X=a[n]*(n-1)!+a[n-1]*(n-2)!+...+a[i]*(i-1)!+...+a[1]*0! 其中,a[i]为整数,并且0<=a[i]<i,1<=i<=n。(a[i]在不同应用中的含义不同); 典型应用: 计算当前排列在所有由小到大全排列中的顺序,也就是说求当前排列是第

csu 1446 Problem J Modified LCS (扩展欧几里得算法的简单应用)

这是一道扩展欧几里得算法的简单应用题,这题是在湖南多校训练赛中队友ac的一道题,在比赛之后请教了队友,然后自己把它a掉 这也是自己独自做扩展欧几里得算法的题目 题意:把题意转变下就变成了:求d1*x - d2*y = f2 - f1的解,很明显用exgcd来解 下面介绍一下exgcd的一些知识点:求ax + by = c的解 一、首先求ax + by = gcd(a,b)的解 这个