Games101学习 - 线性代数综述

本文主要是介绍Games101学习 - 线性代数综述，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

1. 叉积矩阵形式

叉乘矩阵形式通常在物理模拟中有运用，处理四元数旋转也类似这样的形式。

// 定义两个向量 A 和 B
FVector A(1.0f, 2.0f, 3.0f);
FVector B(4.0f, 5.0f, 6.0f);// 计算叉积
FVector CrossProduct = FVector::CrossProduct(A, B);if (GEngine)
{GEngine->AddOnScreenDebugMessage(-1, 5.f, FColor::Green, FString::Printf(TEXT("Cross Product: X=%f, Y=%f, Z=%f"), CrossProduct.X, CrossProduct.Y, CrossProduct.Z));
}// 创建叉积矩阵 (A × B 的每个分量作为矩阵的列向量)
FMatrix CrossProductMatrix(FPlane(0, A.Z, -A.Y, 0),   // 第一列 (X方向，符号调整)FPlane(-A.Z, 0, A.X, 0),   // 第二列 (Y方向，符号调整)FPlane(A.Y, -A.X, 0, 0),   // 第三列 (Z方向，符号调整)FPlane(0, 0, 0, 1)         // 第四列 (恒为单位向量)
);// 用叉积矩阵与B做矩阵乘法
FVector ResultFromMatrixMultiplication = CrossProductMatrix.TransformVector(B);// 打印矩阵乘法结果
if (GEngine)
{GEngine->AddOnScreenDebugMessage(-1, 5.f, FColor::Yellow, FString::Printf(TEXT("Matrix Multiplication Result: X=%f, Y=%f, Z=%f"), ResultFromMatrixMultiplication.X, ResultFromMatrixMultiplication.Y, ResultFromMatrixMultiplication.Z));
}// 验证结果是否与叉积结果一致
bool bIsCorrect = ResultFromMatrixMultiplication.Equals(CrossProduct, 0.001f);  // 允许小范围误差if (GEngine)
{GEngine->AddOnScreenDebugMessage(-1, 5.f, bIsCorrect ? FColor::Blue : FColor::Red, FString::Printf(TEXT("Cross Product Result is %s"), bIsCorrect ? TEXT("Correct") : TEXT("Incorrect")));
}

在这里插入图片描述

2.用方阵的转置矩阵代替逆矩阵

有时乘以转置矩阵提升性能，此外转置矩阵还有许多性质。

// 定义一个旋转矩阵 (例如，绕Z轴旋转45度)
FRotator Rotation = FRotator(0, 45, 0); // 旋转45度
FMatrix RotationMatrix = FRotationMatrix(Rotation);// 打印旋转矩阵
if (GEngine)
{GEngine->AddOnScreenDebugMessage(-1, 5.f, FColor::Green, FString::Printf(TEXT("Rotation Matrix:\n%f %f %f\n%f %f %f\n%f %f %f"),RotationMatrix.M[0][0], RotationMatrix.M[0][1], RotationMatrix.M[0][2],RotationMatrix.M[1][0], RotationMatrix.M[1][1], RotationMatrix.M[1][2],RotationMatrix.M[2][0], RotationMatrix.M[2][1], RotationMatrix.M[2][2]));
}// 创建一个向量
FVector v(1.0f, 0.0f, 0.0f);// 用旋转矩阵旋转向量 v
FVector RotatedVector = RotationMatrix.TransformVector(v);// 打印旋转后的向量
if (GEngine)
{GEngine->AddOnScreenDebugMessage(-1, 5.f, FColor::Yellow, FString::Printf(TEXT("Rotated Vector: X=%f, Y=%f, Z=%f"), RotatedVector.X, RotatedVector.Y, RotatedVector.Z));
}// 计算旋转矩阵的转置矩阵 (对于旋转矩阵，转置等于逆)
FMatrix TransposedMatrix = RotationMatrix.GetTransposed();// 用转置矩阵将向量旋转回原来的方向
FVector ReversedVector = TransposedMatrix.TransformVector(RotatedVector);// 打印恢复后的向量
if (GEngine)
{GEngine->AddOnScreenDebugMessage(-1, 5.f, FColor::Blue, FString::Printf(TEXT("Reversed Vector (Using Transpose): X=%f, Y=%f, Z=%f"), ReversedVector.X, ReversedVector.Y, ReversedVector.Z));
}

在这里插入图片描述

3.叉积计算三角形包含关系

可以用叉积通过三角形顺序的正负判断一点是否在三角形内还是三角形外。
在这里插入图片描述
可以给UE5第三人称小白人增加Tick函数，并绘制线段以调试：
.h：

virtual void Tick(float DeltaTime) override;

.cpp：

void AMyProject5Character::Tick(float DeltaTime)
{Super::Tick(DeltaTime);UWorld* World = GetWorld();FVector playerLocation = GetActorLocation();auto p0 = FVector(1217.096f, 798.187f, 92.013f);auto p1 = FVector(754.616f, 802.829f, 92.013f);auto p2 = FVector(766.306f, 1407.715f, 92.013f);FVector v0 = p1 - p0;FVector v1 = p2 - p1;FVector v2 = p0 - p2;FVector c0 = FVector::CrossProduct(v0, playerLocation - p0);FVector c1 = FVector::CrossProduct(v1, playerLocation - p1);FVector c2 = FVector::CrossProduct(v2, playerLocation - p2);// 检查叉积是否在同一方向bool bIsInside = (c0.Z > 0 && c1.Z > 0 && c2.Z > 0) || (c0.Z < 0 && c1.Z < 0 && c2.Z < 0);// 根据是否在三角形内绘制调试线颜色FColor LineColor = bIsInside ? FColor::Red : FColor::Green;DrawDebugLine(World, p0, p1, LineColor, false, 0.1f, 0, 2.f);DrawDebugLine(World, p1, p2, LineColor, false, 0.1f, 0, 2.f);DrawDebugLine(World, p2, p0, LineColor, false, 0.1f, 0, 2.f);
}