本文主要是介绍数学基础 -- 牛顿法，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！
牛顿法
牛顿法是一种迭代法，用来寻找函数的根（即找到 f ( x ) = 0 f(x) = 0 f(x)=0 的解）。它的基础是泰勒展开，通过利用函数的一阶导数信息，牛顿法能够快速逼近根。
牛顿法的推导
假设我们要找到函数 f ( x ) f(x) f(x) 的根，也就是求解方程 f ( x ) = 0 f(x) = 0 f(x)=0。从一个初始猜测 x 0 x_0 x0 开始，我们使用函数在该点的线性近似来更新我们的猜测值。
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泰勒展开的一阶近似：
对函数 f ( x ) f(x) f(x) 在点 x n x_n xn 处进行泰勒展开（取一阶近似）：
f ( x ) ≈ f ( x n ) + f ′ ( x n ) ⋅ ( x − x n ) f(x) \approx f(x_n) + f'(x_n) \cdot (x - x_n) f(x)≈f(xn)+f′(xn)⋅(x−xn)
我们希望找到 f ( x ) = 0 f(x) = 0 f(x)=0 的点，意味着我们要求解：
0 ≈ f ( x n ) + f ′ ( x n ) ⋅ ( x − x n ) 0 \approx f(x_n) + f'(x_n) \cdot (x - x_n) 0≈f(xn)+f′(xn)⋅(x−xn) -
解方程：
现在我们解这个方程，求解 x x x：
0 = f ( x n ) + f ′ ( x n ) ⋅ ( x − x n ) 0 = f(x_n) + f'(x_n) \cdot (x - x_n) 0=f(xn)+f′(xn)⋅(x−xn)
移项得到：
− f ( x n ) = f ′ ( x n ) ⋅ ( x − x n ) -f(x_n) = f'(x_n) \cdot (x - x_n) −f(xn)=f′(xn)⋅(x−xn)
进一步解出 x x x：
x = x n − f ( x n ) f ′ ( x n ) x = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} x=xn−f′(xn)f(xn)
这里的 x x x 就是我们更新后的新的猜测值 x n + 1 x_{n+1} xn+1。
牛顿法的步骤
- 选择一个初始猜测 x 0 x_0 x0。
- 计算新的猜测值 x n + 1 = x n − f ( x n ) f ′ ( x n ) x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} xn+1=xn−f′(xn)f(xn)。
- 重复第2步，直到新的猜测值足够接近真实解（根据给定的容差标准）。
直观解释
牛顿法的核心思想是使用切线来逼近函数的根。对于某个点 x n x_n xn，我们用该点处的切线（线性近似）替代原函数，然后找到这条切线与横轴的交点作为下一个猜测 x n + 1 x_{n+1} xn+1。通过多次迭代，可以逐步逼近函数的真实根。
优点与缺点
优点：
- 收敛速度快：如果初始猜测值足够好，牛顿法通常具有二次收敛性，即误差的平方级别减少。
缺点：
- 依赖初始值：如果初始猜测不够好，牛顿法可能会发散或者收敛到错误的根。
- 需要求导：牛顿法要求计算函数的导数，对于某些函数，求导可能并不容易或复杂。
应用场景
牛顿法广泛应用于数值分析、优化问题中。例如：
- 方程求解：牛顿法用于解非线性方程组，例如物理中电路分析中的非线性电阻网络问题。
- 最优化问题：在寻找函数的极值点时，牛顿法使用二阶泰勒展开式（利用二阶导数）来更快地找到极值点，这是牛顿-拉夫森法的基础。
牛顿法不适用的场景
1. 初始猜测点不佳
牛顿法对初始猜测点 x 0 x_0 x0 的选择非常敏感。如果初始点距离真实根较远，可能会导致算法发散，甚至陷入循环无法收敛。例如：
- 如果初始点位于函数的拐点或在导数变化剧烈的区域，可能导致更新后的点远离真实根。
2. 导数为零或接近零
牛顿法依赖函数的一阶导数 f ′ ( x n ) f'(x_n) f′(xn)，如果在某个迭代点 x n x_n xn，导数 f ′ ( x n ) f'(x_n) f′(xn) 为零或接近零，则公式：
x n + 1 = x n − f ( x n ) f ′ ( x n ) x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} xn+1=xn−f′(xn)f(xn)
中的分母会导致结果无法计算或者产生过大的跳跃，可能导致发散。例如：
- 函数在某个点有水平切线（导数为零）。
- 在零附近导数非常小，导致迭代更新幅度过大。
3. 函数有多个根
牛顿法可能会收敛到函数的局部根，而不是全局根。尤其是在非线性函数有多个根的情况下，初始猜测点可能决定了收敛到哪个根。例如：
- 多峰函数（如三次、多项式函数），牛顿法可能会收敛到距离初始点最近的根，而不是全局最优解。
4. 函数不光滑或非连续
牛顿法依赖于函数的光滑性（导数存在且连续）。如果函数在某些区域不光滑或存在不连续性，牛顿法可能无法正常工作。例如：
- 绝对值函数在 x = 0 x = 0 x=0 处的导数不存在。
- 分段定义的函数，在定义域内出现不连续性。
5. 二阶导数不稳定的函数
在函数的某些区域，虽然一阶导数存在且非零，但二阶导数变化剧烈，导致牛顿法的收敛速度大幅减慢，甚至可能导致振荡。例如：
- 二次曲线的极值点附近，可能导致牛顿法迭代震荡。
6. 复杂的目标函数或高维问题
牛顿法在高维问题中同样存在挑战，特别是当计算多维函数的导数矩阵（雅可比矩阵）非常复杂时，牛顿法的迭代更新可能变得计算代价过高。例如：
- 非线性优化问题中的牛顿法扩展，涉及到海森矩阵的计算与求解，复杂度较高。
总结
牛顿法在适用于光滑、单一根、导数信息明确的函数时非常高效。但在处理复杂函数、多个根、导数为零、非连续性、以及高维问题时，牛顿法可能不适用或需要结合其他方法进行修正。
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