实变函数精解【14】

本文主要是介绍实变函数精解【14】，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

连续

基础

• $$\begin{gathered} 设X\subset R^n,f:X\to R,a\in X,若\forall ϵ>0,\exists \delta >0, \\ \forall x\in X\cap B_{\delta }(a),有|f(x)-f(a)|<ϵ，则说 \\ f在点a处连续 \\ 若f在X上每点连续，则说f在X上连续。C(X)为X上连续实值函数之主体。 \\ 连续对定义域没要求，不限定它是区间还是区域， \\ 不排除X中有孤立点，在孤立点上f也是连续的。 \end{gathered}$$
• $设A\subset X\subset R^n，若存在开（或闭）集B\subset R^n，使得A=X\cap B,则说A相对于X是开（或闭）集。$
• $设X\subset R^n，f:X\to R，则以下条件互相等价：$
  $$\begin{gathered} f\in C(X) \\ \forall a\in R，X(f<a)与X(f>a)相对于X为开集。 \\ \forall a\in R，X(f\ge a)与X(f\le a)相对于X为闭集。 \\ 任意给开集G\subset R，f^{-1}(G)相对于X是开集。 \\ 任意给闭集F\subset R，f^{-1}(F)相对于X为闭集。 \end{gathered}$$
• $$\begin{gathered} Cauchy收敛原理 \\ 一个序列x^{(k)}\subset R^n收敛的充要条件是：{\lim }_{k,l\to \infty }|x{(}^k)-x^{(}l)|=0 \end{gathered}$$
• 覆盖
  $$\begin{gathered} F\subset R^n，A是R^n的一族子集 \\ 若F\subset {\cup }_{U\in A}U,A是集F的一个覆盖。 \\ 当A是开集族，则A是集F的一个开覆盖。 \\ 当A是有限族，则A是集F的一个有覆盖。 \\ 若V\subset A，V是F的覆盖，称V是U的子覆盖。 \end{gathered}$$

实变函数的连续性和微积分中的连续性

在概念上有一定的联系，但也有一些重要的区别。

1. 实变函数的连续性

在实变函数论中，函数 $f(x)$在点$x_0$连续的定义为：${\lim }_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$这意味着，当 $x$趋近于$x_0$时，函数值 $f(x)$也会趋近于$f(x_0)$。具体来说，对于任意的$ϵ>0$，存在一个 $\delta >0$，使得当$|x-x_0|<\delta$时，$|f(x)-f(x_0)|<ϵ$。

2. 微积分中的连续性

在微积分中，函数的连续性通常与导数的存在性和可微性相关。一个函数在某点$x_0$处的连续性依然使用上述实变函数的定义。
然而，在微积分中，我们通常更关注的是函数在整个区间上的连续性（比如在某个闭区间上连续），以及连续性对积分和微分运算的影响。
微积分中的连续性通常指的是函数的光滑性和可微性。
在微积分中，连续性是可微性的前提条件，因为如果函数在某点不可连续，则它在该点不可微。因此，在微积分中，讨论连续性时，往往是作为讨论函数可微性或积分性的一部分。例如，经典微积分中的定理，如中值定理或泰勒定理，都依赖于函数的连续性

3.连续与可微

微积分中的一个重要概念是“可微性”。一个函数在某点 $x_0$处可微的充要条件是该函数在该点处连续并且存在导数。也就是说，可微性是一个比连续性更强的条件。

• 连续但不可微的函数：例如，绝对值函数 $f(x)=|x|$ 在$x=0$处是连续的，但不可微。
• 可微的函数一定连续：如果函数 $f(x)$ 在$x_0$处可微，则$f(x)$在$x_0$处一定是连续的。

总结

实变函数的连续性是一个基本概念，强调的是函数在点附近的行为。而在微积分中，连续性不仅是导数和积分定义的基础，同时也与函数的可微性、光滑性等更强的性质密切相关。
因此，虽然两者在某些方面是一致的，但微积分中的连续性通常与更多的运算和性质联系在一起。

n维点集的基本定理

在几何学和数学分析中，关于n维点集的基本定理主要涉及到点集的闭包、内部、边界以及它们之间的关系。这些定理在拓扑学和实分析中尤为重要。以下是一些关键的n维点集基本定理的概述：

1. 点集的闭包、内部和边界

• 闭包（Closure）：点集A的闭包，记作$\overline{A}$，是包含A的所有极限点的最小闭集。换句话说，$\overline{A}$包含A中的所有点以及A的边界上的所有点。
• 内部（Interior）：点集A的内部，记作$A^{\circ }$，是A中所有内点的集合。一个点是A的内点，如果它有一个完全位于A内的邻域。
• 边界（Boundary）：点集A的边界，记作$\partial A$，是A的闭包中不属于A的内部的所有点的集合。即，$\partial A=\overline{A}-A^{\circ }$。

2. 基本定理

• 定理一（闭包的性质）：对于任意点集A，$\overline{A}$是闭集，且$\overline{A}$包含A。
• 定理二（内部的性质）：对于任意点集A，$A^{\circ }$是开集（如果非空），且$A^{\circ }\subseteq A$。
• 定理三（边界的性质）：对于任意点集A，$\partial A$是闭集，且$\partial A\subseteq \overline{A}$。
• 定理四（内部与闭包的关系）：对于任意点集A，有$\overline{A}=A^{\circ }\cup \partial A$，且$A^{\circ }\cap \partial A=\varnothing$（即内部与边界不相交）。

3. 进一步的性质

• 定理五（有限交性质）：在欧几里得空间中，任意有限个闭集的交集仍然是闭集。
• 定理六（可数并性质）：在欧几里得空间中，任意可数多个开集的并集仍然是开集。
• 定理七（连通性）：在欧几里得空间中，如果点集A是连通的，那么A的闭包$\overline{A}$也是连通的。

这些定理为理解和分析n维空间中的点集提供了强大的工具，特别是在拓扑学、实分析、微分几何等领域中。它们不仅描述了点集的基本结构，还揭示了这些结构之间的内在联系。

4. Heine-Borel 定理

• 内容: 在欧几里得空间${\mathbb{R}}^n$ 中，一个点集是紧致的，当且仅当它是闭的且有界的。
• 应用: 该定理在分析学中用于讨论极限过程、函数的连续性、以及积分和级数收敛等问题。

5. Bolzano-Weierstrass 定理

• 内容: 在${\mathbb{R}}^n$ 中，任何有界的无限点集必然有至少一个聚点（即至少有一个子序列收敛）。
• 应用: 该定理在实变函数和拓扑学中用于证明点集的紧致性和序列的收敛性。

6. Brouwer 不动点定理

• 内容: 在${\mathbb{R}}^n$中的任何紧致凸集上的连续映射至少有一个不动点。
• 应用: 该定理在非线性分析、博弈论、经济学等领域有广泛应用。

7. Lebesgue 覆盖定理

• 内容: 如果${\mathbb{R}}^n$中的一个紧致集被一个开放覆盖所覆盖，那么存在一个有限的子覆盖。
• 应用: 该定理是证明连续函数可以用分段连续函数逼近的基础。

8. Jordan 曲线定理

• 内容: 在${\mathbb{R}}^2$ 中，任何简单闭曲线将平面分割成两个区域：一个有限的内部区域和一个无限的外部区域。
• 应用: 该定理在二维几何和拓扑学中非常重要，为高维拓扑学研究奠定基础。

9. Urysohn 引理

• 内容: 在度量空间${\mathbb{R}}^n$中，任意两个分离的闭集可以用一个连续函数分开。
• 应用: 该定理在构造连续函数和分析度量空间的结构中非常有用。

10. Stone-Weierstrass 定理

• 内容: 在${\mathbb{R}}^n$的紧致子集上，任何连续函数可以被一列多项式函数一致逼近。
• 应用: 该定理在近似理论和实变函数论中广泛应用。

11. Riesz 代表定理

• 内容: 在${\mathbb{R}}^n$上的紧致支持的正测度与连续线性泛函之间存在一一对应。
• 应用: 该定理在泛函分析和测度理论中具有重要意义。

12. Sard’s 定理

• 内容: 对于${\mathbb{R}}^n上的C^k$（k 次连续可微）映射，临界值集的测度为零。
• 应用: 该定理在微分拓扑学中用于研究光滑映射的性质。

13. Egorov 定理

• 内容: 在${\mathbb{R}}^n$上的有限测度空间中，如果函数列几乎处处收敛，则在任意小的测度集的补集上可以得到一致收敛。
• 应用: 该定理在实变函数和测度理论中应用广泛。

这些定理只是$n$维点集理论中的一部分，还有许多其他定理和概念在不同的数学领域中发挥重要作用。

实变函数理论中$n$ 维点集的相关定理

在实变函数理论中，$n$ 维点集的相关定理主要涉及集合的测度、紧致性、极限过程、连续性、积分等性质。以下是一些与 $n$ 维点集相关的重要定理和概念，它们在实变函数和测度理论中扮演着重要角色：

1. Lebesgue 外测度定理

• 内容: 在 ${\mathbb{R}}^n$ 中，对于任意点集 $A\subset {\mathbb{R}}^n$，可以定义其 Lebesgue 外测度 $m^{\ast }(A)$，它是 $A$ 的覆盖的测度和的下确界。
• 应用: 该定理用于定义和研究非可测集、可测集以及更一般的可测函数。

2. Carathéodory 可测性条件

• 内容: 在 ${\mathbb{R}}^n$ 中，一个点集 $A\subset {\mathbb{R}}^n$ 是 Lebesgue 可测的，当且仅当对于任意集合 $E\subset {\mathbb{R}}^n$，有 $m^{\ast }(E)=m^{\ast }(E\cap A)+m^{\ast }(E\cap A^c)$。
• 应用: 该定理提供了判定 Lebesgue 可测集的标准。

3. Fubini 定理

• 内容: 如果 $f(x,y)$ 是 ${\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^m$ 上的可积函数，那么可以通过逐步积分来计算其积分，即 ${\int }_{{\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^m}f(x,y)d(x,y)={\int }_{{\mathbb{R}}^n}\left({\int }_{{\mathbb{R}}^m}f(x,y)dy\right)dx$。
• 应用: 该定理用于计算多重积分，特别是在处理 $n$ 维和 $m$ 维点集上的积分时。

4. Luzin 定理

• 内容: 在 ${\mathbb{R}}^n$ 上，如果 $f$ 是一个可测函数，那么对于任意 $ϵ>0$，存在一个紧致集 $K\subset {\mathbb{R}}^n$，使得 $f$ 在 $K$ 上一致连续，并且
  $m({\mathbb{R}}^n\setminus K)<ϵ$。
• 应用: 该定理用于研究可测函数的近似性质，特别是将可测函数近似为连续函数。

5. Egorov 定理

• 内容: 在 ${\mathbb{R}}^n$ 上的有限测度空间中，如果一列可测函数几乎处处收敛，那么对于任意小的 $ϵ>0$，可以在一个测度小于 $ϵ$ 的集合的补集上得到一致收敛。
• 应用: 该定理在分析一列函数的收敛性时非常有用，特别是在讨论实变函数的收敛模式时。

6. Vitali 覆盖定理

• 内容: 在 ${\mathbb{R}}^n$ 中，若给定一个点集 $E$ 和一个符合某些条件的区间集，则可以从该区间集中选择一个有限或可数个区间，使它们的覆盖的测度接近 $E$ 的外测度。
• 应用: 该定理用于证明积分不等式、测度理论中的重要结果，以及构建 $n$ 维点集的外测度。

7. Riesz 表示定理

• 内容: 在 ${\mathbb{R}}^n$ 上的一个局部紧 Hausdorff 空间中，连续线性泛函可以表示为与一个正测度的积分。
• 应用: 该定理连接了测度理论和泛函分析，特别是用于讨论 $n$ 维空间中的函数与测度之间的关系。

8. Fatou 引理

• 内容: 在 ${\mathbb{R}}^n$ 上，如果 { f k } \{f_k\} {fk​} 是一列非负可测函数，那么 ${\mathrm{liminf}}_{k\to \infty }\int f_k\le \int {\mathrm{liminf}}_{k\to \infty }{f}_k.$
• 应用: 该定理用于处理一列函数的积分下确界问题，是实变函数论中的基本工具。

9. Lebesgue 控制收敛定理

• 内容: 在 ${\mathbb{R}}^n$ 上，如果 { f k } \{f_k\} {fk​} 是一列几乎处处收敛的可测函数，并且存在一个可积函数 $g$ 使得对所有 $k$，都有 $|f_k(x)|\le g(x)$，则 ${\lim }_{k\to \infty }\int f_k=\int {\lim }_{k\to \infty }{f}_k.$
• 应用: 该定理是分析中最重要的收敛定理之一，用于处理积分与极限的交换问题。

10. Rademacher 定理

• 内容: 在 ${\mathbb{R}}^n$ 上的 Lipschitz 连续函数几乎处处可微。
• 应用: 该定理用于研究 Lipschitz 函数的光滑性和导数的性质。

这些定理构成了实变函数论中的核心内容，涉及 $n$ 维点集的各种性质和应用。

覆盖、开覆盖、有限覆盖和子覆盖

在数学中，特别是在拓扑学和实分析中，覆盖、开覆盖、有限覆盖和子覆盖是描述集合（特别是点集）被其他集合“覆盖”或“包含”的方式的重要概念。

概念解释

1. 覆盖（Covering）: 给定一个集合$X$，一族集合 { U i } i ∈ I \{U_i\}_{i \in I} {Ui​}i∈I​ 被称为$X$ 的覆盖，如果$X\subseteq {\bigcup }_{i\in I}{U}_i$。也就是说，( X$ 被 { U i } \{U_i\} {Ui​} 所覆盖。

2. 开覆盖（Open Covering）: 如果 { U i } i ∈ I \{U_i\}_{i \in I} {Ui​}i∈I​ 是$X$ 的覆盖，并且每个$U_i$ 都是$X$ 中的开集，则 { U i } \{U_i\} {Ui​} 被称为$X$ 的开覆盖。

3. 有限覆盖（Finite Covering）: 如果覆盖 { U i } i ∈ I \{U_i\}_{i \in I} {Ui​}i∈I​ 的指标集$I$ 是有限集，则称之为有限覆盖。

4. 子覆盖（Subcovering）: 如果 { V j } j ∈ J \{V_j\}_{j \in J} {Vj​}j∈J​ 是 { U i } i ∈ I \{U_i\}_{i \in I} {Ui​}i∈I​ 的子集，并且 { V j } j ∈ J \{V_j\}_{j \in J} {Vj​}j∈J​ 也是$X$ 的覆盖，那么 { V j } j ∈ J \{V_j\}_{j \in J} {Vj​}j∈J​ 就是 { U i } \{U_i\} {Ui​} 的一个子覆盖。

下面具体解释这些概念：

覆盖

覆盖是指一个集合族（即集合的集合），其并集包含了另一个给定的集合。具体来说，如果有一个集合$X$和一个集合族 { A α } α ∈ I \{A_\alpha\}_{\alpha \in I} {Aα​}α∈I​（其中$I$是某个索引集），并且满足

$$X\subseteq \bigcup _{\alpha \in I}{A}_{\alpha },$$

则称集合族 { A α } α ∈ I \{A_\alpha\}_{\alpha \in I} {Aα​}α∈I​是$X$的一个覆盖。

开覆盖

开覆盖是覆盖的一种特殊情况，其中覆盖集合族中的每个集合都是开集。在拓扑空间中，开集是构成该空间拓扑结构的基本元素。因此，如果 { A α } α ∈ I \{A_\alpha\}_{\alpha \in I} {Aα​}α∈I​是拓扑空间$X$的一个覆盖，并且对于每个$\alpha \in I$，$A_{\alpha }$都是$X$中的开集，则称 { A α } α ∈ I \{A_\alpha\}_{\alpha \in I} {Aα​}α∈I​是$X$的一个开覆盖。

有限覆盖

有限覆盖是指覆盖集合族中只包含有限多个集合的覆盖。即，如果存在一个正整数$n$和集合$A_1,A_2,\dots ,A_n$，使得

$$X\subseteq A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n,$$

则称 { A 1 , A 2 , … , A n } \{A_1, A_2, \ldots, A_n\} {A1​,A2​,…,An​}是$X$的一个有限覆盖。

子覆盖

子覆盖是指从原始覆盖集合族中选取部分集合（即子集）所形成的新覆盖。具体来说，如果 { A α } α ∈ I \{A_\alpha\}_{\alpha \in I} {Aα​}α∈I​是$X$的一个覆盖，且存在$J\subseteq I$使得 { A α } α ∈ J \{A_\alpha\}_{\alpha \in J} {Aα​}α∈J​也是$X$的一个覆盖，则称 { A α } α ∈ J \{A_\alpha\}_{\alpha \in J} {Aα​}α∈J​是 { A α } α ∈ I \{A_\alpha\}_{\alpha \in I} {Aα​}α∈I​的一个子覆盖。

这些概念在证明和分析中非常有用，特别是在处理紧性、连通性、极限点等拓扑性质时。例如，在实数轴上，海涅-波莱尔定理（Heine-Borel
Theorem）表明，闭区间$[a,b]$是紧的，即它的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖。这是实数分析中的一个基本定理，对于理解实数集的拓扑结构至关重要。
Cauchy 收敛原理是分析学中的一个基本概念，它给出了序列（或函数）收敛的一个等价条件。这一原理可以用于实数、复数、以及更一般的度量空间中的序列或函数列。

例子

1. 覆盖的例子:

   • 设$X=[0,1]$ 是区间，( U_i = \left( \frac{i}{n}, \frac{i+1}{n} \right)$ ，其中$i=0,1,2,\dots ,n-1$ 且$n$
     为正整数。则 { U i } i = 0 n − 1 \{U_i\}_{i=0}^{n-1} {Ui​}i=0n−1​ 是$[0,1]$ 的一个覆盖，因为$[0,1]\subseteq {\bigcup }_{i=0}^{n-1}{U}_i$。

2. 开覆盖的例子:

   • 考虑集合$X=\mathbb{R}$ （实数集）。令$U_n=(-n,n)$，其中$n$ 是正整数。则 { U n } \{U_n\} {Un​} 是$\mathbb{R}$ 的一个开覆盖，因为$\mathbb{R}={\bigcup }_{n=1}^{\infty }{U}_n$
     且每个$U_n$ 都是$\mathbb{R}$ 中的开集。

3. 有限覆盖的例子:

   • 设 X = { 1 , 2 , 3 } X = \{1, 2, 3\} X={1,2,3}，并定义 U 1 = { 1 , 2 } U_1 = \{1, 2\} U1​={1,2}，( U_2 = {2, 3}KaTeX parse error: Can't use function '\(' in math mode at position 2: ，\̲(̲ U_3 = \{1, 3\}。则 { U 1 , U 2 , U 3 } \{U_1, U_2, U_3\} {U1​,U2​,U3​} 是$X$ 的有限覆盖，因为$X=U_1\cup U_2\cup U_3$ 且只有三个集合。

4. 子覆盖的例子:

   • 对于前面的$[0,1]$ 的覆盖例子，假设 { V j } \{V_j\} {Vj​} 是 { U i } \{U_i\} {Ui​} 的子集，其中$V_0=U_0$ 且$V_{n-1}=U_{n-1}$。则 { V 0 , V n − 1 } \{V_0, V_{n-1}\} {V0​,Vn−1​} 是$[0,1]$ 的一个子覆盖，因为$[0,1]\subseteq V_0\cup V_{n-1}$。

例题

1. 例题 1: 给定集合$X=[0,2]$ 和开覆盖 { U i } = { ( − 1 n , 2 + n n ) ∣ n ∈ N } \{U_i\} = \left\{ \left(-\frac{1}{n}, \frac{2+n}{n} \right) \mid n \in \mathbb{N} \right\} {Ui​}={(−n1​,n2+n​)∣n∈N}，找出一个有限子覆盖。
   解答: 我们可以选择$n=1,2$ 的两个开集$U_1=\left(-1,3\right)$ 和$U_2=\left(-\frac{1}{2},2\right)$。这两个集合的并集$U_1\cup U_2$
   已经覆盖了整个$[0,2]$，因此它们构成了 { U i } \{U_i\} {Ui​} 的一个有限子覆盖。

2. 例题 2: 给定一个紧致集$X=[0,1]$ 和它的开覆盖 { U i } = { ( i n , i + 2 n ) ∣ i = 0 , 1 , … , n − 2 } \{U_i\} = \left\{ \left( \frac{i}{n}, \frac{i+2}{n} \right) \mid i = 0, 1, \ldots, n-2 \right\} {Ui​}={(ni​,ni+2​)∣i=0,1,…,n−2}，证明存在一个有限子覆盖。

   解答: 因为$X=[0,1]$ 是紧致集，根据紧致性的定义，任何开覆盖都存在有限子覆盖。因此，虽然 { U i } \{U_i\} {Ui​}
   是一个无限集合（当$n$ 增大时），但总能找到有限数量的$U_i$ 覆盖整个$X$。例如，选择$i=0,1,\dots ,n-2$
   中的部分$i$ 值即可构成有限子覆盖。

这些例子和例题展示了如何应用覆盖及其相关概念来处理不同的集合覆盖问题。

Cauchy 收敛

Cauchy 收敛原理的陈述

1. 序列的 Cauchy 收敛原理

设 { x n } \{x_n\} {xn​}是一个实数序列。Cauchy 收敛原理表明：

• Cauchy 序列: 序列 { x n } \{x_n\} {xn​}是 Cauchy 序列，当且仅当对于任意的$ϵ>0$，存在一个正整数$N$，使得对于所有$m,n>N$，都有$|x_n-x_m|<ϵ$。

• Cauchy 收敛原理: 在完备度量空间（如实数集$\mathbb{R}$或复数集$\mathbb{C}$）中，任意 Cauchy 序列必定收敛。

2. 函数列的 Cauchy 收敛原理

设 { f n } \{f_n\} {fn​}是定义在度量空间$X$上的一列函数。Cauchy 收敛原理同样适用于函数列：

• Cauchy 函数列: 函数列 { f n } \{f_n\} {fn​}是 Cauchy 函数列，当且仅当对于任意的$ϵ>0$，存在一个正整数$N$，使得对于所有$m,n>N$和所有$x\in X$，都有$|f_n(x)-f_m(x)|<ϵ$。

• 函数列的 Cauchy 收敛原理: 如果函数列 { f n } \{f_n\} {fn​}在一个完备的度量空间（如连续函数的空间）中是 Cauchy 列，则该函数列收敛于某个函数。

Cauchy 收敛原理的重要性

• 完备性: Cauchy 收敛原理的一个核心应用是验证空间的完备性。如果一个度量空间中的每一个 Cauchy 序列都收敛到空间中的某个点，则该空间是完备的。例如，实数集$\mathbb{R}$和复数集$\mathbb{C}$都是完备的。

• 分析中的应用: Cauchy 收敛原理是实变函数论、积分论、以及泛函分析中的重要工具。例如，在证明某些极限过程的收敛性时，可以利用序列或函数列的 Cauchy 性质。

• 等价收敛条件: 在完备空间中，Cauchy 收敛原理提供了一个等价于收敛性的条件，这在分析问题中常常被使用。

举例

• 实数序列的例子: 设序列$x_n=\frac{1}{n}$。对于任意$ϵ>0$，存在一个正整数$N$使得对于$m,n>N$，有$|x_n-x_m|<ϵ$。因此，这个序列是一个
  Cauchy 序列，并且它收敛于 0。

• 函数列的例子: 设$f_n(x)=\frac{x}{n}$在$\mathbb{R}$上定义。对于任意$ϵ>0$和$m,n$足够大时，$|f_n(x)-f_m(x)|=\left|\frac{x}{n}-\frac{x}{m}\right|$会非常小。因此， { f n } \{f_n\} {fn​}是 Cauchy 函数列，并且它收敛于零函数。

Cauchy 收敛原理在分析学中广泛应用，特别是在验证序列和函数列的收敛性时具有重要意义。

Cauchy 收敛例子和例题

Cauchy 收敛是分析学中非常重要的概念，涉及序列和函数列的收敛性。下面给出几个例子和例题，帮助理解 Cauchy 收敛的概念及其应用。

例子 1:

实数序列的 Cauchy 收敛 考虑序列 { x n } = { 1 n } \{x_n\} = \left\{ \frac{1}{n} \right\} {xn​}={n1​}，即$x_n=\frac{1}{n}$。

检查 Cauchy 性质：

对于任意的$ϵ>0$，我们需要找到一个正整数$N$，使得当$m,n>N$ 时，( |x_n - x_m| < \epsilon$。

计算： $$|x_n-x_m|=\left|\frac{1}{n}-\frac{1}{m}\right|=\left|\frac{m-n}{nm}\right|\le \frac{|m-n|}{mn}$$ 当$m,n>N$
时，由于$n\ge N$ 且$m\ge N$，有： $$|x_n-x_m|\le \frac{|m-n|}{N^2}$$ 我们选择$N$ 足够大，使得$\frac{1}{N}<ϵ$，则对于$m,n>N$，必然有$|x_n-x_m|<ϵ$。因此，序列 { x n } \{x_n\} {xn​} 是 Cauchy 序列。

序列的收敛性：

根据 Cauchy 收敛原理，在实数集$\mathbb{R}$ 中，Cauchy 序列必定收敛。因此，序列 { x n } = { 1 n } \{x_n\} = \left\{ \frac{1}{n} \right\} {xn​}={n1​} 收敛于 0。

例子 2:

函数列的 Cauchy 收敛 设$f_n(x)=\frac{x}{n}$ 是定义在$\mathbb{R}$ 上的函数列。

检查 Cauchy 性质：

对于任意的$ϵ>0$ 和任意的$x\in \mathbb{R}$，考虑： $$|f_n(x)-f_m(x)|=\left|\frac{x}{n}-\frac{x}{m}\right|=|x|\cdot \left|\frac{1}{n}-\frac{1}{m}\right|$$ 计算： $$|f_n(x)-f_m(x)|=|x|\cdot \frac{|m-n|}{mn}$$ 当$m,n>N$ 时，( |f_n(x) - f_m(x)|
\leq \frac{|x| \cdot |m - n|}{N^2}$。选择$N$ 足够大，使得$\frac{|x|}{N}<ϵ$，则对于$m,n>N$，有$|f_n(x)-f_m(x)|<ϵ$。因此，(
{f_n(x)}$ 是 Cauchy 函数列。

函数列的收敛性：

根据 Cauchy 收敛原理，( {f_n(x)}$ 在$\mathbb{R}$ 上收敛于函数$f(x)=0$，即${\lim }_{n\to \infty }{f}_n(x)=0$。

例题 1:

判断序列是否是 Cauchy 序列 设 { x n } \{x_n\} {xn​} 是一个序列，定义为$x_n=1+\frac{(-1{)}^n}{n}$。

问题: 证明 { x n } \{x_n\} {xn​} 是 Cauchy 序列。

解答: 首先，计算任意两个项之间的差： $$|x_n-x_m|=\left|\left(1+\frac{(-1{)}^n}{n}\right)-\left(1+\frac{(-1{)}^m}{m}\right)\right|=\left|\frac{(-1{)}^n}{n}-\frac{(-1{)}^m}{m}\right|$$ 根据三角不等式： $$|x_n-x_m|\le \left|\frac{(-1{)}^n}{n}\right|+\left|\frac{(-1{)}^m}{m}\right|=\frac{1}{n}+\frac{1}{m}$$
对于任意$ϵ>0$，选择$N$ 使得当$n,m>N$ 时，( \frac{1}{N} <
\frac{\epsilon}{2}$。则对于$n, m > N$，有： $$|x_n-x_m|\le \frac{1}{n}+\frac{1}{m}<\frac{ϵ}{2}+\frac{ϵ}{2}=ϵ$$
因此，( {x_n}$ 是 Cauchy 序列。

例题 2:

判断函数列是否是 Cauchy 函数列 设$f_n(x)=\frac{1}{1+n{x}^2}$ 是定义在$\mathbb{R}$ 上的函数列。

问题: 证明 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)} 是 Cauchy 函数列。

解答: 首先，计算两个函数之间的差： $$|f_n(x)-f_m(x)|=\left|\frac{1}{1+n{x}^2}-\frac{1}{1+m{x}^2}\right|$$ 通过合并分母，可以得到： $$|f_n(x)-f_m(x)|=\left|\frac{m-n}{(1+n{x}^2)(1+m{x}^2)}\right|$$ 因为$x^2\ge 0$，所以$1

• nx^2 \geq 1$，即： $$|f_n(x)-f_m(x)|\le \frac{|m-n|}{(1)(1)}=|m-n|$$ 对于任意的$ϵ>0$，选择$N$ 使得当$m,n>N$ 时，( |m - n| <
  \epsilon$，则有$|f_n(x) - f_m(x)| < \epsilonKaTeX parse error: Can't use function '\(' in math mode at position 5: 。因此，\̲(̲ \{f_n(x)\} 是 Cauchy
  函数列。

这两个例题展示了如何应用 Cauchy 收敛原理来判断序列和函数列的收敛性。Cauchy
收敛原理在实变函数和分析学中是一个非常有用的工具，用于处理极限和收敛问题。

参考文献

1.《实变函数》
2.chatgpt，文心一言

这篇关于实变函数精解【14】的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

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