本文主要是介绍01背包,完全背包,多重背包详解,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!
背包之01背包、完全背包、多重背包详解
PS:大家觉得写得还过得去,就帮我把博客顶一下,谢谢。
首先说下动态规划,动态规划这东西就和递归一样,只能找局部关系,若想全部列出来,是很难的,比如汉诺塔。你可以说先把除最后一层的其他所有层都移动到2,再把最后一层移动到3,最后再把其余的从2移动到3,这是一个直观的关系,但是想列举出来是很难的,也许当层数n=3时还可以模拟下,再大一些就不可能了,所以,诸如递归,动态规划之类的,不能细想,只能找局部关系。
1.汉诺塔图片
(引至杭电课件:DP最关键的就是状态,在DP时用到的数组时,也就是存储的每个状态的最优值,也就是记忆化搜索)
要了解背包,首先得清楚动态规划:
动态规划算法可分解成从先到后的4个步骤:
1. 描述一个最优解的结构;
2. 递归地定义最优解的值;
3. 以“自底向上”的方式计算最优解的值;
4. 从已计算的信息中构建出最优解的路径。
其中步骤1~3是动态规划求解问题的基础。如果题目只要求最优解的值,则步骤4可以省略。
背包的基本模型就是给你一个容量为V的背包
在一定的限制条件下放进最多(最少?)价值的东西
当前状态→ 以前状态
看了dd大牛的《背包九讲》(点击下载),迷糊中带着一丝清醒,这里我也总结下01背包,完全背包,多重背包这三者的使用和区别,部分会引用dd大牛的《背包九讲》,如果有错,欢迎指出。
(www.wutianqi.com留言即可)
首先我们把三种情况放在一起来看:
01背包(ZeroOnePack): 有N件物品和一个容量为V的背包。(每种物品均只有一件)第i件物品的费用是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
完全背包(CompletePack): 有N种物品和一个容量为V的背包,每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量,且价值总和最大。
多重背包(MultiplePack): 有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用,每件费用是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量,且价值总和最大。
比较三个题目,会发现不同点在于每种背包的数量,01背包是每种只有一件,完全背包是每种无限件,而多重背包是每种有限件。
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先来分析01背包:
01背包(ZeroOnePack): 有N件物品和一个容量为V的背包。(每种物品均只有一件)第i件物品的费用是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
这是最基础的背包问题,特点是:每种物品仅有一件,可以选择放或不放。
用子问题定义状态:即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是:
f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}
把这个过程理解下:在前i件物品放进容量v的背包时,
它有两种情况:
第一种是第i件不放进去,这时所得价值为:f[i-1][v]
第二种是第i件放进去,这时所得价值为:f[i-1][v-c[i]]+w[i]
(第二种是什么意思?就是如果第i件放进去,那么在容量v-c[i]里就要放进前i-1件物品)
最后比较第一种与第二种所得价值的大小,哪种相对大,f[i][v]的值就是哪种。
(这是基础,要理解!)
这里是用二位数组存储的,可以把空间优化,用一位数组存储。
用f[0..v]表示,f[v]表示把前i件物品放入容量为v的背包里得到的价值。把i从1~n(n件)循环后,最后f[v]表示所求最大值。
*这里f[v]就相当于二位数组的f[i][v]。那么,如何得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]+w[i]?(重点!思考)
首先要知道,我们是通过i从1到n的循环来依次表示前i件物品存入的状态。即:for i=1..N
现在思考如何能在是f[v]表示当前状态是容量为v的背包所得价值,而又使f[v]和f[v-c[i]]+w[i]标签前一状态的价值?
逆序!
这就是关键!
1 2 3 | for i=1..N for v=V..0 f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}; |
分析上面的代码:当内循环是逆序时,就可以保证后一个f[v]和f[v-c[i]]+w[i]是前一状态的!
这里给大家一组测试数据:
测试数据:
10,3
3,4
4,5
5,6
这个图表画得很好,借此来分析:
C[v]从物品i=1开始,循环到物品3,期间,每次逆序得到容量v在前i件物品时可以得到的最大值。(请在草稿纸上自己画一画)
这里以一道题目来具体看看:
题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2602
代码在这里:http://www.wutianqi.com/?p=533
分析:
具体根据上面的解释以及我给出的代码分析。这题很基础,看懂上面的知识应该就会做了。
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完全背包:
完全背包(CompletePack): 有N种物品和一个容量为V的背包,每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量,且价值总和最大。
完全背包按其思路仍然可以用一个二维数组来写出:
f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k*c[i]<=v}
同样可以转换成一维数组来表示:
伪代码如下:
1 2 3 | for i=1..N for v=0..V f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]} |
顺序!
想必大家看出了和01背包的区别,这里的内循环是顺序的,而01背包是逆序的。
现在关键的是考虑:为何完全背包可以这么写?
在次我们先来回忆下,01背包逆序的原因?是为了是max中的两项是前一状态值,这就对了。
那么这里,我们顺序写,这里的max中的两项当然就是当前状态的值了,为何?
因为每种背包都是无限的。当我们把i从1到N循环时,f[v]表示容量为v在前i种背包时所得的价值,这里我们要添加的不是前一个背包,而是当前背包。所以我们要考虑的当然是当前状态。
这里同样给大家一道题目:
题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1114
代码:http://www.wutianqi.com/?p=535
(分析代码也是学习算法的一种途径,有时并不一定要看算法分析,结合题目反而更容易理解。)
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多重背包
多重背包(MultiplePack): 有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用,每件费用是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量,且价值总和最大。
这题目和完全背包问题很类似。基本的方程只需将完全背包问题的方程略微一改即可,因为对于第i种物品有n[i]+1种策略:取0件,取1件……取n[i]件。令f[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值,则有状态转移方程:
f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k<=n[i]}
这里同样转换为01背包:
普通的转换对于数量较多时,则可能会超时,可以转换成二进制(暂时不了解,所以先不讲)
对于普通的。就是多了一个中间的循环,把j=0~bag[i],表示把第i中背包从取0件枚举到取bag[i]件。
给出一个例题:
题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2191
代码:http://www.wutianqi.com/?p=537
转至:http://www.wutianqi.com/?p=539
这篇关于01背包,完全背包,多重背包详解的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助!