实变函数精解【13】

本文主要是介绍实变函数精解【13】，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

集与点集

基础

• $A=A^{\circ }，A是开集，A^C是闭集$
• $A=\bar{A}，A是闭集，有界闭集为紧集，无孤立点的闭集为完备集。$
• $若\bar{A}=R^n，则称A为稠集，或说A在R^n中稠密$
• $若B\subset \bar{A},则A在B中稠密,\forall b\in B,\forall r>0，有B_r(b)\cap A\ne \varnothing$
• $若(\bar{A}{)}^{\circ }=\varnothing ,则称A为疏集。$
• $$\begin{gathered} 任意个开集的并及有限个开集的交是开集， \\ 任意个闭集的交及有限个闭集的并是闭集。 \end{gathered}$$
• $可数个开集的交称为G_{\delta }型集，可数个闭集的并称为F_{\delta }型集$
• $R中任一个非空开集G是可数个互不相交的开区间之并。$
• $$\begin{gathered} 若F\subset R是闭集，且F\ne R， \\ 则F是从R上挖去可数个互不相交的开区间后所得之集， \\ 被挖去的区间称为F的余区间。 \\ 当余区间相互没有公共端点时，F是完备集， \\ 若F是紧集，则F是从一闭区间内挥动可数个互不相交的开区间后所得之集。 \end{gathered}$$
• $$\begin{gathered} n维开方体,与R上开区间相对应 \\ \prod (a_i,b_i)=\{(x_1,x_2,...,x_n）：a_i<x_i<b_i(1\le i\le n)\} \end{gathered}$$
• $R^n中任一个非空开集G可表为可数个互不相交的n维半开立方体之并。$

勒贝格测度

基础

• $设E是直线上的点集，则$
  m ∗ ( E ) = i n f { Σ k = 1 ∞ ( b k − a k ) : E ⊂ ∪ k = 1 ∞ [ a k , b k ) } 称为 E 的勒贝格外测度 实质为取一切可能覆盖 E 的左闭右开区间族，求出每族区间的长度之和， 再取由此构成的数集的下确界。 m^*(E)=inf\{\Sigma_{k=1}^\infty(b_k-a_k):E\subset \cup_{k=1}^\infty[a_k,bk)\} \\称为E的勒贝格外测度 \\实质为取一切可能覆盖E的左闭右开区间族，求出每族区间的长度之和，\\再取由此构成的数集的下确界。 m∗(E)=inf{Σk=1∞​(bk​−ak​):E⊂∪k=1∞​[ak​,bk)}称为E的勒贝格外测度实质为取一切可能覆盖E的左闭右开区间族，求出每族区间的长度之和，再取由此构成的数集的下确界。

勒贝格外测度的例子

1. 单点集： 对于单点集 A = { a } A = \{a\} A={a}，勒贝格外测度 $m^{\ast }(A)$ 是 0。原因是可以用任意小的区间覆盖单点集 { a } \{a\} {a}，例如 $I_n=[a-\frac{1}{n},a+\frac{1}{n}]$，当$n$ 趋近于无穷大时，$|I_n|=\frac{2}{n}$趋近于0。因此，$m^{\ast }(A)=0$。

2. 区间： 对于区间$A=[a,b]$，勒贝格外测度 $m^{\ast }(A)$ 是 $b-a$。这是因为对于任意覆盖 { I i } \{I_i\} {Ii​}，总的长度和至少是$b-a$，且可以选择$I_1=[a,b]$本身作为覆盖，使得总的长度和就是 $b-a$。

3. 康托尔集： 康托尔集是一个经典的无法用有限个区间覆盖的非空集。其勒贝格外测度为 0，尽管康托尔集包含无穷多个点。由于康托尔集是通过连续地从区间中移除中间三分之一的闭区间构造的，可以证明其最终的总长度趋于 0。

例题

例题 1：计算集合 $A=[0,1]\cup [2,3]$ 的勒贝格外测度。

解答：

1. 集合 $A$ 是两个不相交区间的并集。
2. 第一个区间 $[0,1]$的长度为 1，第二个区间$[2,3]$ 的长度为 1。
3. 因此，勒贝格外测度为两个区间长度的和： $$m^{\ast }(A)=1+1=2$$

例题 2：证明实数集$\mathbb{R}$的勒贝格外测度是无穷大。

解答：

1. 假设 $\mathbb{R}$有有限的勒贝格外测度，则可以找到一个有限的总长度覆盖 ( \mathbb{R} )。
2. 但 $\mathbb{R}$包含任意大的区间，因此，任何有限的总长度都不能覆盖整个实数集。
3. 所以，勒贝格外测度 $m^{\ast }(\mathbb{R})=\infty$。

这些例子和例题展示了勒贝格外测度的基本计算和性质。如果你有更多特定的例子或问题，我很乐意进一步帮助解释或解答。

• 外测度的性质：

勒贝格积分

是现代数学中积分理论的一个重要组成部分，它是对黎曼积分的推广和一般化。以下将详细解说勒贝格积分的定义、原理、性质、计算、例子和例题。

一、定义

勒贝格积分是在勒贝格测度论的基础上建立起来的，它允许在更广泛的函数类和集合上进行积分运算。具体来说，勒贝格积分定义在可测集上，对于非负可测函数，其积分值是通过一系列非负简单函数的积分来逼近的。对于一般可测函数，可以通过将其分解为正部和负部来定义其勒贝格积分。

二、原理

勒贝格积分的原理基于勒贝格测度论，它通过将函数值与其定义域上相应测度的乘积进行“累加”（实际上是取极限）来定义积分。这种累加方式比黎曼积分的矩形逼近更为精细和一般，能够处理更加复杂的函数和集合。

三、性质

勒贝格积分具有许多优良的性质，包括但不限于：

1. 线性性：勒贝格积分对线性运算（加法和数乘）是封闭的，即满足${\int }_E(af+bg)d\mu =a{\int }_{E}fd\mu +b{\int }_{E}gd\mu$，其中$a,b$是常数，$f,g$是可积函数。
2. 单调性：如果$f\le g$，则${\int }_{E}fd\mu \le {\int }_{E}gd\mu$。
3. 绝对可积性：如果$f$是可积的，那么$|f|$也是可积的，且$\left|{\int }_{E}fd\mu \right|\le {\int }_E|f|d\mu$。
4. 控制收敛定理：如果$f_n\to f$逐点且被某个可积函数$g$控制（即$|f_n|\le g$），则${\lim }_{n\to \infty }{\int }_E{f}_{n}d\mu ={\int }_{E}fd\mu$。

四、计算

勒贝格积分的计算通常涉及以下几个步骤：

1. 确定函数的可积性：首先需要判断函数是否在给定集合上是勒贝格可积的。
2. 分解函数：对于一般可测函数，可以将其分解为正部和负部，即$f=f^{+}-f^{-}$，其中$f^{+}=\max (f,0)$，$f^{-}=\max (-f,0)$。
3. 分别计算正部和负部的积分：由于正部和负部都是非负函数，可以利用非负函数的勒贝格积分定义来计算它们的积分。
4. 求和：最后，将正部和负部的积分值相减，得到原函数的勒贝格积分。

五、例子

考虑狄利克雷函数（Dirichlet function），它定义为： $$f(x)=\{\begin{array}{ll}1,& \text{如果 }x\text{ 是有理数}\\ 0,& \text{如果 }x\text{ 是无理数}\end{array}$$

这个函数在黎曼积分下是不可积的，但在勒贝格积分下是可积的，且其积分为0。这是因为有理数集在实数集中是零测度的，所以无论函数在有理数集上取何值，其勒贝格积分都为0。

六、例题

设函数$f(x)$是$E$上的可积函数，对于$E$上的任意可测子集$A$，有${\int }_{A}f(x)d\lambda =0$。我们需要证明$f(x)=0$，对$E$上的任意点$x$都成立。

证明：

1. 对于任意的正整数$n$，集合 E n = { x ∈ E ∣ f ( x ) > 1 n } E_n = \{x \in E \mid f(x) > \frac{1}{n}\} En​={x∈E∣f(x)>n1​}是可测的。这是因为$f(x)$的值大于$\frac{1}{n}$的点必然落在某个开区间中，而开区间是可测的。
2. 由题设条件，对于任意的正整数$n$，我们有${\int }_{E_n}f(x)d\lambda =0$。
3. 当$n\to \infty$时，$E_n\to E$（因为$f(x)>\frac{1}{n}$的点越来越少，最终都落在了$E$中）。

参考文献

1.《实变函数》
2.文心一言，chatgpt

这篇关于实变函数精解【13】的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

---