关于倍增思想的几点总结

2024-08-23 16:18
文章标签 总结 思想 倍增 几点

本文主要是介绍关于倍增思想的几点总结,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

倍增思想的概念:

  • 每次通过倍增加速状态转移、预处理或查询(很多时候能把时间复杂度降到O(logN))

倍增的注意事项:

  • 在理解倍增之前,个人建议先对二进制有一定的理解
  • 有时候要注意一下预处理的过程,不要出问题

倍增思想的例题(难度从低到高):

  • P2886 [USACO07NOV]牛继电器Cow Relays

  • P1081 开车旅行(省选 NOI-)

倍增思想的适用范围(个人整理):

  • 在变化规则相同的情况下加速状态转移(如:快速幂,LCA(倍增法))
  • 加速区间操作(如:ST表,后缀数组)

关于倍增思想的总结:

  • 兔子跳:很多时候,倍增思想的使用过程就像兔子跳跃的过程一样(设兔子单次跳跃的距离为d,假设在每次跳跃完成后,d=d^2).学习这只兔子的跳跃过程,我们就可以尝试把极高的时间复杂度优化成O(n{log_{2}}^{n}).
  • 对数据查询的优化:倍增很多时候是在查询过程中使用的(单次查询的时间复杂度通常为O(1)至O({log_{2}}^{n}).在查询速度优化的同时,往往也需要对数据的预处理.(预处理往往需要至少O(n{log_{2}}^{n})的时间复杂度)
  • 图论:在大多数情况下,图论中的点或边都可以按某种方式排序.如果问题的解要求O(NlogN)的时间复杂度,可以考虑倍增思想.在使用倍增思想的情况下,可以结合DP的"最优子结构"和ST表的思想尝试求解.
  • DP 记忆化:倍增很多时候也需要借用DP的"记忆化"思想,从而在查询中以下标代表2^i的方式进行查询.
  • 爆炸:使用倍增的优化方式往往可以爆炸性的优化程序的运行速度(比如:从O(2^{n})优化到O(n{log_{2}}^{n})
  • 二进制:在许多情况下,倍增的具体实现与二进制运算有关.在使用倍增思想的过程中,往往可以结合二进制进行考虑.比如:尝试使用位运算优化状态转移.(如:(1<<i)在ST表和倍增求LCA中的应用和(i=i>>1,i&1)在快速幂中的应用)
  • 加速DP状态转移:有时候可以使用倍增的方法优化DP(如:快速幂),使用这种方法可以参考快速幂的实现.(关于使用倍增思想加速DP状态转移可以参考《浅析倍增思想在信息学竞赛中的应用》)

这篇关于关于倍增思想的几点总结的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助!



http://www.chinasem.cn/article/1099881

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