方差：理解数据的离散程度

本文主要是介绍方差：理解数据的离散程度，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

方差：理解数据的离散程度

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引言

方差是统计学和数据分析中的重要概念，用于量化数据集中各个观测值与平均值之间的差异程度。理解方差有助于我们更好地分析数据，并在金融、科学研究、机器学习等领域中发挥关键作用。

在计算方差时，有两种常见的方法：有偏估计和无偏估计。有偏估计通常用于描述当前样本本身的离散程度，而无偏估计则是为了通过样本数据来推断总体特性。了解这两种估计方法的区别对于正确地使用方差至关重要。

样本与总体的关系

在统计学中，总体（Population）是指研究对象的全体，它包含了我们感兴趣的所有个体或观测值。然而，由于时间、成本和其他资源的限制，通常无法对整个总体进行全面研究。因此，研究人员从总体中抽取一个较小的部分，这个部分称为样本（Sample）。样本是总体的一个子集，代表了总体的某些特征。通过对样本进行分析，研究人员可以推断总体的特性。

样本数据是通过采样（Sampling）过程得来的，这个过程可以是随机的，也可以是系统的。采样方法的选择会影响样本的代表性和推断的准确性。因为样本只能部分反映总体的特性，所以在利用样本估计总体特性时，需要特别注意估计方法的选择。

什么是方差？

方差（Variance）是用来度量数据集中各观测值与其平均值之间差异的统计量。方差越大，表示数据点之间的差异越大；反之，方差越小，表示数据点之间的差异越小。

方差的数学公式

对于包含 $n$ 个观测值 $x_1,x_2,\dots ,x_n$ 的样本集，方差 ${\sigma }^2$ 的公式为：

$${\sigma }^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\mu {)}^2$$

其中，$\mu$ 是样本均值，定义为所有观测值的平均值：$\mu =\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{x}_i$。

有偏估计 vs. 无偏估计

• 有偏估计：使用分母为 (n) 的公式计算样本方差，用于描述当前样本数据的离散程度。适合在仅关注样本本身特性、不考虑推断总体方差的情况下使用。

• 无偏估计：使用分母为 (n-1) 的公式计算样本方差，常用于通过样本数据推断总体方差。通过调整分母的值，补偿样本均值可能带来的偏差，使得估计值更接近于总体方差。

方差的计算示例

假设有一个包含五个观测值的数据集：$2,4,6,8,10$，计算该数据集的方差如下：

1. 计算均值:
   $$\mu =\frac{2+4+6+8+10}{5}=6$$

2. 计算每个观测值与均值之差的平方:

   • $(2-6{)}^2=16$
   • $(4-6{)}^2=4$
   • $(6-6{)}^2=0$
   • $(8-6{)}^2=4$
   • $(10-6{)}^2=16$

3. 计算方差:
   $${\sigma }^2=\frac{16+4+0+4+16}{5}=8$$

因此，该数据集的方差为 8。

无偏估计的推导与重要性

从有偏估计到无偏估计的推导

样本方差的有偏估计公式为：

$$S_{biased}^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2$$

计算期望值时发现：

$$E(S_{biased}^2)={\sigma }^2\cdot \frac{n-1}{n}$$

这表明有偏估计低估了总体方差。为了修正这一偏差，我们引入无偏估计，公式为：

$$S_{unbiased}^2=\frac{n}{n-1}\cdot S_{biased}^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2$$

经过推导，得到：

$$E(S_{unbiased}^2)={\sigma }^2$$

这证明了无偏估计的期望值正好等于总体方差，保证了估计的准确性。

Bessel校正的原因

Bessel校正通过将分母改为 $n-1$ 来调整样本方差的估计，确保其无偏。这种调整考虑了样本均值与总体均值的差异，使得估计更接近真实的总体方差。

是否总是需要无偏估计？

如果只关注当前样本的离散程度而不是推断总体方差，可以直接使用样本方差，即采用分母为 $n$ 的公式。这种情况下，无需进行无偏估计的校正，因为目标只是描述样本本身而非推断总体特性。

方差的应用场景

1. 金融领域：衡量资产价格波动性。
2. 质量控制：监测生产过程中的一致性。
3. 社会科学：评估调查数据的可靠性。
4. 生物学：分析实验数据的变异性。
5. 机器学习：识别模型训练中的重要特征。

结论

方差是描述数据离散程度的关键工具。在估计样本方差时，使用无偏估计能更准确地反映总体方差。如果仅关心样本本身的特性，无需进行无偏估计。

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