梧桐数据库（WuTongDB）：数据库技术中LR算法详解

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LR（Left-to-Right, Rightmost Derivation）算法是一种自底向上的语法分析方法，用于解析上下文无关文法。与 LL 分析器的自顶向下分析方式不同，LR 分析器从输入的最左侧开始读取符号，但通过“最右推导”来构建语法树。这意味着它试图在推导过程中生成输入串的最右侧符号。

LR 分析器的基本概念

LR 分析器依赖一个状态栈和一个输入缓冲区，通过状态转移表来指导分析过程。它的主要任务是判断当前输入符号和栈中的内容是否符合某个文法规则，并据此进行规约（reduce）或移进（shift）。

文法示例

考虑以下文法：

S -> E
E -> E + T | T
T -> T * F | F
F -> ( E ) | id

在这段文法中：

• S 是起始符号。
• E, T, F 是非终结符号。
• +, *, (, ), id 是终结符号。

LR 分析器的核心步骤

1. 移进（Shift）：将当前输入符号从输入缓冲区移到栈中，并转换状态。移进操作通常意味着还没有找到一个可以匹配的规则，需要继续的输入符号。

2. 规约（Reduce）：当栈顶的符号序列匹配某个文法规则的右侧时，用该规则的左侧替换栈顶的符号序列，即将这些符号规约为一个非终结符号。

3. 接收（Accept）：当所有输入符号已经被处理并且栈顶只包含起始符号时，分析成功。

4. 错误（Error）：如果没有适用的移进或规约动作，分析失败，表示输入不符合文法。

LR 分析器的种类

根据查找的前瞻符号数量和状态表的不同，LR 分析器分为以下几类：

1. 简单 LR 分析器（SLR）：使用 FOLLOW 集进行规约，构建过程较为简单，但不能处理所有 LR 文法。

2. LR(0) 分析器：不使用前瞻符号，仅根据状态表和当前符号进行移进或规约，适用于更简单的文法。

3. 规范 LR 分析器（LR(1)）：使用一个前瞻符号来预测和规约，这是最通用的 LR 分析器，可以处理所有 LR(1) 文法。

4. LALR 分析器（Look-Ahead LR）：在 LR(1) 的基础上合并了一些状态以减少状态表的大小，实际应用中最为常见。

LR 分析器的工作流程

1. 状态栈与输入缓冲区初始化：状态栈最初包含一个起始状态 s0，输入缓冲区包含要解析的符号串，末尾有一个特殊的结束符号 $。

2. 循环处理输入符号：

   • 根据当前栈顶状态和输入符号，查找动作表（Action Table）确定下一步操作。
   • 如果是 Shift 操作，则将输入符号移进栈中，并转换到新的状态。
   • 如果是 Reduce 操作，则根据匹配的文法规则从栈中弹出相应数量的符号，用规则的左侧非终结符号替换，并依据 GOTO 表转移状态。
   • 如果是 Accept，则分析成功。
   • 如果是 Error，则处理失败。

3. 结束条件：当分析器接受输入或出现错误时，分析过程结束。

LR 分析表的构建

LR 分析器依赖两个关键的数据结构：

1. 动作表（Action Table）：决定对当前输入符号进行“移进”还是“规约”，或是接收输入，或者报告错误。

2. GOTO 表：在进行规约后，决定从当前状态转移到哪个状态。

LR 项目集族的构建

LR 分析器依赖一个称为“项目集族”（canonical collection of LR(1) items）的结构来构建其状态表。以下是项目集的构建步骤：

1. 初始化：从起始文法规则生成初始项目集。

2. 闭包操作：如果项目集中包含一个形如 A -> α·Bβ 的项目，则将所有可能的推导式 B -> γ 添加到项目集中，并为其创建一个新的项目集。

3. GOTO 操作：对项目集中的每个符号进行 GOTO 操作，生成新的项目集。

4. 重复直到收敛：重复闭包和 GOTO 操作，直到不再生成新的项目集。

示例：LR(0) 分析器

考虑以下简单文法：

S -> E
E -> E + T | T
T -> id

项目集族

构建项目集族（使用 . 表示项目）：

1. 初始状态 I0：

   S -> ·E
   E -> ·E + T
   E -> ·T
   T -> ·id
   

2. GOTO 结果：

   • 对 E，转移到 I1：

     S -> E·
     

   • 对 T，转移到 I2：

     E -> T·
     

   • 对 +，转移到 I3：

     E -> E· + T
     

   • 对 id，转移到 I4：

     T -> id·
     

3. 继续闭包和 GOTO 生成其余状态，直到完成。

动作表和 GOTO 表

根据项目集族构建动作表和 GOTO 表。

• Action 表决定对每个输入符号应进行的操作。
• GOTO 表决定在规约后应转移到哪个状态。

总结

LR 算法是一种强大的语法分析方法，适用于更复杂的上下文无关文法。通过状态转换表的设计，LR 分析器能够有效处理左递归和其他复杂的语法结构，尤其是在编译器设计中广泛应用。LR(1) 分析器是其中最强大和通用的，但 LALR 分析器因其效率和实用性更广泛应用于实际编译器中。

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产品简介

• 梧桐数据库（WuTongDB）是基于 Apache HAWQ 打造的一款分布式 OLAP 数据库。产品通过存算分离架构提供高可用、高可靠、高扩展能力，实现了向量化计算引擎提供极速数据分析能力，通过多异构存储关联查询实现湖仓融合能力，可以帮助企业用户轻松构建核心数仓和湖仓一体数据平台。
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