概率统计Python计算：条件概率和概率乘法公式

本文主要是介绍概率统计Python计算：条件概率和概率乘法公式，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

1. 古典概型中条件概率的计算

条件概率$P(B|A)$是将样本空间限制在$A$上，$A\cap B$的概率。因此，我们可以利用博文《概率统计Python计算：解古典概型问题》定义的函数P(A, S)，计算古典概型中的条件概率。这只需对两个参数A和S分别传递$A\cap B$和$A$即可。
例1 一盒子装有4只产品，其中有3只一等品，1只二等品。从中无放回地抽取产品两次，每次任取一只。设事件$A$为“第一次取到的是一等品”，事件$B$为“第二次取到的是一等品”。求条件概率$P(B|A)$。
解： 由抽取的任意性知，这个试验是一个古典概型。所谓无放回抽样，指的是第1次抽取1球，观察后不放回袋中，然后从袋中抽取第2次。第一次抽取时在4件产品中任取一件，故有4种取法。第2次抽取是在剩下的3件产品中任取一件，有3种取法。因此，样本空间含样本点数$|S|=4\cdot 3=12$。对事件$A$：“第一次取到的是一等品”而言，第一次取得的一等品应是原有的3件一等品之一，故有3种取法；第二次是在余下的3件中任取一件，也有3种取法。故$|A|=3^2=9$，$P(A)=9/12=3/4$。事件$A\cap B$：，“第一次和第二次都取到一等品”。这意味着第一次是在3件一等品中任取一件，第二次是在剩下的2件一等品中任取一件，故$|A\cap B|=3\cdot 2=6$，$P(A\cap B)=6/12=1/2$。于是
$$P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{1/2}{3/4}=2/3.$$
设1，2，3表示一等品，4表示二等品。其样本空间就是由1, 2, 3, 4中任意抽取2个的排列构成。设$(i,j)$为任一样本点（$1\le i\ne j\le 4$），事件$A$：第一次抽到一等品中的样本点应满足条件$i\le 3$，$B$：第二次抽到一等品中的样本点应满足$j\le 3$。
将试验的样本空间及样本空间中样本点结构的约定以及事件A和B应满足的条件反映成如下的Python代码：

from sympy.utilities.iterables import variations as permutations#导入permutations
S=set(permutations(range(1,5),2))   							#1，2，3为一等品，4为二等品
A = subSet(S, lambda a: a[0] <= 3)							    #设置事件A：“第1次取得一等品”
B = subSet(S, lambda a: a[1] <= 3)							    #设置事件B：“第2次取得一等品”
p = P(A&B, A)
print('P(B|A)=%s' % p)

程序的第2行调用permutations函数（第1行导入）设置本试验的样本空间S。第3、4行调用函数subSet（定义见博文《按条件设置随机事件》），设置事件A：“第一次取得一等品”和B：“第2次取得一等品”。第9行调用前面定义的函数P，计算条件概率P(B|A)。注意传递给第一个参数的是表示$A\cap B$的A&B。运行程序，输出

P(B|A)=2/3

即为本例的解。

2. 乘法公式

例2 已知在10件产品中有2件次品，从中取两次，每次任取一件，作不放回抽样。计算下列事件的概率。

1. 两件都是正品；
2. 两件都是次品；
3. 一件是正品，一件是次品；
4. 第二次取出的是次品。

解： 按不放回抽取方式，从10件产品中（包括2件次品）抽取两次，每次任取一件是一个古典概型。故用Python计算其中随机事件的概率需先考虑样本空间$S$及其样本点的结构。我们用$1,2,\cdots ,8$表示8个正品，9和10表示2个次品。无放回两次抽取产品的样本点可用二元组$(i,j)$表示。其中，$1\le i\ne j\le 10$。样本空间$S$就是由所有这样的二元组构成。设事件$A_1$表示“第一次取到正品”，$A_2$表示“第二次取到正品”。则$A_1$中样本点$(i,j)$满足条件$i\le 8$，$A_2$中样本点$(i,j)$满足条件$j\le 8$。下列程序计算概率$P(A_1\cap A_2)$，$P({\overline{A}}_1\cap {\overline{A}}_2)$，$P(A1\cap {\overline{A}}_2\cup {\overline{A}}_1\cap A_2)=1-P(A_1\cap A_2)-P({\overline{A}}_1\cap {\overline{A}}_2)$和$P(A_2)$。

from sympy.utilities.iterables import variations as permutations#导入permutations
S=set(permutations(range(1,11),2))      						#1~8为一等品，9，10为二等品
A1=subSet(S, lambda a: a[0]<=8)       						    #事件A1
A2=subSet(S, lambda a: a[1]<=8)       						    #事件A2
A1_=S-A1                                						#A1的对立事件Ā1
A2_=S-A2                                						#A2的对立事件Ā2
p1=P(A1, S)*P(A1&A2, A1)               							#P(A1*A2)
p2=P(A1_, S)*P(A1_&A2_, A1_)            						#P(Ā1*Ā2)
p3=1-p1-p2                              						#P(A1*Ā2)+P(Ā1*A2)
p4=P(A2_, S)                            						#P(Ā2)
print('P(A1*A2)=%s'%p1)
print('P(A1_*A2_)=%s'%p2)
print('P(A1*A2_)+P(A1_*A2)=%s'%p3)
print('P(A2_)=%s'%p4)

程序的第2行完成对样本空间的设置： { 1 , 2 ⋯ , 10 } \{1,2\cdots,10\} {1,2⋯,10}中任取2个元素的排列。第3~6行设置事件$A_1$，$A_2$，${\overline{A}}_1$和${\overline{A}}_2$。第7~10行分别计算概率$P(A_1\cap A_2)$，$P({\overline{A}}_1\cap {\overline{A}}_2)$，$P(A1\cap {\overline{A}}_2\cup {\overline{A}}_1\cap A_2)=1-P(A_1\cap A_2)-P({\overline{A}}_1\cap {\overline{A}}_2)$和$P(A_2)$。第11~14行输出计算所得概率的值。运行程序，输出：

P(A1*A2)=28/45
P(A1_*A2_)=1/45
P(A1*A2_+A1_*A2)=16/45
P(A2_)=1/5

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