概率统计Python计算：离散型自定义分布数学期望的计算（一）

本文主要是介绍概率统计Python计算：离散型自定义分布数学期望的计算（一），希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

对非经典分布的随机变量，当然可以按博文《自定义离散型分布》中介绍的方法，自定义rv_discrete（离散型）或rv_continuos（连续型）的子类（详见博文《自定义连续型分布》），然后调用其expect函数计算数学期望。
例1 有3只球，4个盒子，盒子的编号为1、2、3。将球逐个独立地，随机地放入4个盒子中去。以$X$表示其中至少有一只球的盒子的最小号码（例如$X=3$表示第1号，第2号盒子是空的，第3号盒子至少有一只球），计算$E(X)$。
解： 显然，$X$的取值为 { 1 , 2 , 3 , 4 } \{1, 2, 3, 4\} {1,2,3,4}。设$A_i$表示$i$号盒是空的（$i=1,2,3,4$）。每个球放入1号盒的概率为$1/4$，没有放入1号盒的概率为$3/4$。
$$P(X=1)=P({\overline{A}}_1)=1-P(A_1)=1-{\left(\frac{3}{4}\right)}^3=\frac{37}{64}$$
$$\begin{gathered} P(X=2)=P(A_1{\overline{A}}_2)=P(A_1)P({\overline{A}}_2|A_1) \\ =P(A_1)(1-P(A_2|A_1))={\left(\frac{3}{4}\right)}^3\left[1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^3\right] \\ =\frac{27}{64}\cdot \frac{19}{27}=\frac{19}{64} \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} P(X=3)=P(A_1{A}_2{\overline{A}}_3)=P(A_1)P(A_2|A_1)P({\overline{A}}_3|A_1{A}_2) \\ ={\left(\frac{3}{4}\right)}^3{\left(\frac{2}{3}\right)}^3\left[1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^3\right]=\frac{7}{64} \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} P(X=4)=P(A_1{A}_2{A}_3{\overline{A}}_4)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1{A}_2)P({\overline{A}}_4|A_1{A}_2{A}_3) \\ ={\left(\frac{3}{4}\right)}^3{\left(\frac{2}{3}\right)}^3{\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1}{64} \end{gathered}$$
即$X$~$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ \frac{37}{64}& \frac{19}{64}& \frac{7}{64}& \frac{1}{64}\end{array}\right)$，$E(X)=1\cdot \frac{37}{64}+2\cdot \frac{19}{64}+3\cdot \frac{7}{64}+4\cdot \frac{1}{64}=\frac{25}{16}$。
下列代码定义分布律为$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ \frac{37}{64}& \frac{19}{64}& \frac{7}{64}& \frac{1}{64}\end{array}\right)$的离散型分布，调用其expect函数计算$E(X)$。

import numpy as np                      #导入numpy
from scipy.stats import rv_discrete     #导入rv_discrete
X=np.array([1,2,3,4])                   #随机变量
P=np.array([37/64, 19/64,7/64, 1/64])   #X的分布概率
mydist=rv_discrete(values=(X, P))       #自定义离散分布
Ex=mydist.expect()                      #计算数学期望
print('E(X)=%.4f'%Ex)

第3~4行设置分布律数据X和P。第5行用分布律数据X和P定义离散型分布mydist。第6行调用该分布的expect函数，计算随机变量$X$的数学期望$E(X)$。运行程序，输出

E(X)=1.5625

恰为$E(X)=\frac{25}{16}$精确到万分位的值。
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