概率统计Python计算：双因素无重复试验方差分析

本文主要是介绍概率统计Python计算：双因素无重复试验方差分析，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

双因素无重复试验方差分析的数据模型$X$是一个$r\times s$的矩阵，$X_{ij}$~$N({\mu }_{ij},{\sigma }^2)$。令$\overline{X}=\frac{1}{rs}\sum _{i=1}^r\sum _{j=1}^s{X}_{ij}$，${\overline{X}}_{i\cdot }=\frac{1}{r}\sum _{j=1}^s{X}_{ij}$，${\overline{X}}_{\cdot j}=\frac{1}{r}\sum _{i=1}^r{X}_{ij}$，$i=1,2,\cdot ,r,j=1,2,\cdots ,s$。与双因素等重复试验方差分析相仿，样本数据总变差$S_T=\sum _{i=1}^r\sum _{j=1}^s(X_{ij}-\overline{X}{)}^2$，可分解为因素$A$的效应平方和$S_A=s\sum _{i=1}^r({\overline{X}}_{i\cdot }-\overline{X}{)}^2$，因素$B$的效应平方和$S_B=r\sum _{j=1}^s({\overline{X}}_{\cdot j}-\overline{X}{)}^2$，误差平方和$S_E=\sum _{i=1}^r\sum _{j=1}^s(X_{ij}-{\overline{X}}_{i\cdot }-{\overline{X}}_{\cdot j}+\overline{X}{)}^2$之和，即
$$S_T=S_A+S_B+S_E.$$
利用这些数据，希望在显著水平$\alpha$下检验假设
$$\begin{gathered} H_{01}:{\mu }_{i\cdot }-\mu =0,i=1,2,\cdots ,r, \\ {H}_{02}:{\mu }_{\cdot j}-\mu =0,j=1,2,\cdots ,s. \end{gathered}$$
其中，${\mu }_{i\cdot }=\frac{1}{s}\sum _{j=1}^s{\mu }_{ij},i=1,2,\cdots ,r$，${\mu }_{\cdot j}=\sum _{i=1}^r{\mu }_{ij},j=1,2,\cdots ,s$，$\mu =\frac{1}{rs}\sum _{i=1}^r\sum _{j=1}^s{\mu }_{ij}$。
下列代码定义计算双因素无重复试验方差分析的函数。

def dfeVarAnal1(X, alpha):r,s=X.shape									#模型数据结构Xi_bar=X.mean(axis=1).reshape(r, 1)			#A因素样本均值Xj_bar=X.mean(axis=0).reshape(1, s)			#B因素样本均值Xt_bar=X.mean()								#样本总均值ST=((X-Xt_bar)**2).sum()					#总变差SA=s*((Xi_bar-Xt_bar)**2).sum()				#A效应平方和SB=r*((Xj_bar-Xt_bar)**2).sum()				#B效应平方和SE=ST-SA-SB									#误差平方和F1=(s-1)*SA/SE								#H01检验统计量值accept1=ftestR(F1, r-1, (r-1)*(s-1), alpha)	#检验H01F2=(r-1)*SB/SE								#H02检验统计量值accept2=ftestR(F2, s-1, (r-1)*(s-1), alpha)	#检验H02return (accept1, accept2)

函数dfeVarAnal1的参数X表示双因素无重复试验方差分析的数据模型$X$，alpha表示显著水平$\alpha$。第2行计算数据模型的结构行数s，列数t。第3行计算因素A的各个水平对应的样本均值$({\overline{X}}_{1\cdot },{\overline{X}}_{2\cdot },\cdots ,{\overline{X}}_{r\cdot }{)}^T$，第4行计算因素B各水平对应的样本均值$({\overline{X}}_{\cdot 1},{\overline{X}}_{\cdot 2},\cdots ,{\overline{X}}_{\cdot s})$，第5行计算样本总均值$\overline{X}$，第6~9行分别计算$S_T$，$S_A$，$S_B$和$S_E$。第10行计算假设$H_{01}$的检验统计量值$\frac{S_A/(r-1)}{S_E/(r-1)(s-1)}$~$F(r-1,(r-1)(s-1))$，第11行调用函数ftestR计算$H_{01}$的右侧检验。第12行计算$H_{02}$的检验统计量$\frac{S_B/(s-1)}{S_E/(r-1)(s-1)}$~$F(s-1,(r-1)(s-1))$，第13行计算$H_{02}$的右侧检验。
例1 在四个不同时间，五个不同地点测得空气中的颗粒状物含量（$mg/m^3$）如下

	地点$B_1$	地点$B_2$	地点$B_3$	地点$B_4$	地点$B_5$
时间$A_1$	76	67	81	56	51
时间$A_2$	82	69	96	59	70
时间$A_3$	68	59	67	54	42
时间$A_4$	63	56	64	58	37

假定在第$i$个时间，第$j$个地点空气中颗粒物含量服从$N({\mu }_{ij},{\sigma }^2)$，$1\le i\le 4,1\le j\le 5$。试在显著水平$\alpha =0.05$下检验：在不同时间下颗粒物含量的均值有无显著差异，在不同地点下颗粒物含量的均值有无显著差异。
解： 按题意，需在显著水平$\alpha =0,05$下检验
$$\begin{gathered} H_{01}:{\mu }_{i\cdot }-\mu =0,i=1,2,\cdots ,4, \\ {H}_{02}:{\mu }_{\cdot j}-\mu =0,j=1,2,\cdots ,5. \end{gathered}$$
下列代码完成本例计算。

import numpy as np					#导入numpy
alpha=0.05							#显著水平
X=np.array([[76, 67, 81, 56, 51],	#试验样本数据[82, 69, 96, 59, 70],[68, 59, 67, 54, 42],[63, 56, 64, 58, 37]])
H0=dfeVarAnal1(X, alpha)			#双因素无重复试验方差分析
print(H0)

运行程序，输出

(False, False)

表示拒绝假设$H_{01}$和$H_{02}$。即时间和地点都显著地影响空气中的颗粒物含量。
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