概率统计Python计算：双因素等重复试验方差分析

本文主要是介绍概率统计Python计算：双因素等重复试验方差分析，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

双因素等重复试验的数据模型$X$是一个结构为$r\times s\times t$的3-维矩阵（张量），其中$X_{ijk}$取自于总体指标$N({\mu }_{ij},{\sigma }^2)$，$i=1,2,\cdots ,r,j=1,2,\cdots ,s,k=1,2,\cdots ,t$。记$$\begin{gathered} \overline{X}=\frac{1}{rst}\sum _{i=1}^r\sum _{j=1}^s\sum _{k=1}^t{X}_{ijk} \\ {\overline{X}}_{ij}=\frac{1}{t}\sum _{k=1}^t{X}_{ijk},i=1,2,\cdots ;r,j=1,2,\cdots ,s \\ {\overline{X}}_{i\cdot }=\frac{1}{st}\sum _{j=1}^s\sum _{k=1}^t{X}_{ijk}=\frac{1}{s}\sum _{j=1}^s{\overline{X}}_{ij},i=1,2,\cdots ,r \\ {\overline{X}}_{\cdot j}=\frac{1}{rt}\sum _{i=1}^r\sum _{k=1}^t{X}_{ijk}=\frac{1}{r}\sum _{i=1}^r{\overline{X}}_{ij},j=1,2\cdots ,s \\ {S}_T=\sum _{i=1}^r\sum _{j=1}^s\sum _{k=1}^t(X_{ijk}-\overline{X}{)}^2 \end{gathered}$$
其中，$\overline{X}$为样本总均值，${\overline{X}}_{i\cdot }$为因素水平$A_i$对应的样本均值，${\overline{X}}_{\cdot j}$为因素水平$B_j$对应的样本均值，${\overline{X}}_{ij}$为组合因素样本均值，$S_T$为样本总变差。
令$S_E=\sum _{i=1}^r\sum _{j=1}^s\sum _{k=1}^t(X_{ijk}-{\overline{X}}_{ij}{)}^2$，称为误差平方和；$S_A=st\sum _{i=1}^r({\overline{X}}_{i\cdot }-\overline{X}{)}^2$，称为因素$A$的效应平方和；$S_B=rt\sum _{j=1}^s({\overline{X}}_{\cdot j}-\overline{X}{)}^2$，称为效应$B$的平方和；$S_{AB}=t\sum _{i=1}^r\sum _{j=1}^s({\overline{X}}_{ij}-{\overline{X}}_{i\cdot }-{\overline{X}}_{\cdot j}+\overline{X}{)}^2$，称为因素$A$与$B$的交互效应平方和。
与单因素试验模型中样本总变差$S_T$的分解类似，双因素等重复试验的样本总变差$S_T$可分解为
$$S_T=S_E+S_A+S_B+S_{AB}.$$
下列代码定义双因素等重复试验的样本总变差$S_T$的分解函数。

def dfeDecompose(X):(r,s,t)=X.shape									#模型数据结构X_bar=X.mean(axis=2)							#组合因素样本均值Xi_bar=X_bar.mean(axis=1).reshape(r,1)			#A因素水平样本均值Xj_bar=X_bar.mean(axis=0).reshape(1,s)			#B因素水平样本均值Xt_bar=X.mean()									#样本总均值ST=((X-Xt_bar)**2).sum()						#样本总变差SA=s*t*((Xi_bar-Xt_bar)**2).sum()				#A效应平方和SB=r*t*((Xj_bar-Xt_bar)**2).sum()				#B效应平方和SAB=t*((X_bar-Xi_bar-Xj_bar+Xt_bar)**2).sum()	#交互效应平方和SE=ST-SA-SB-SAB									#误差平方和return r, s, t, SA, SB, SAB, SE

第2行从X的结构中读取其宽度r，长度s和深度t。第3行计算因素水平$A_i$，$B_j$组合对应的样本均值${\overline{X}}_{ij}$（$1\le i\le r,1\le j\le s$）为X_bar。它是由参数X表示的张量按下标$k$方向计算样本均值：X.mean(axis=2)所得，这是一个$r\times s$的矩阵。第4行由X_bar按下标$j$的方向计算因素水平$A_i$对应的样本均值${\overline{X}}_{i\cdot }$为Xi_bar，设置为一个$r\times 1$的矩阵。相仿地，第5行由X_bar按下标$i$的方向计算因素水平$B_j$对应的样本均值${\overline{X}}_{\cdot j}$为Xj_bar，设置为一个$1\times s$的矩阵。第6行计算总样本均值$\overline{X}$为Xt_bar，这是一个实数。第7行计算总变差平方$S_T=\sum _{i=1}^r\sum _{j=1}^s\sum _{k=1}^t(X_{ijk}-\overline{X}{)}^2$为ST。第8行计算因素$A$的效应平方和$S_A=st\sum _{i=1}^r({\overline{X}}_{i\cdot }-\overline{X}{)}^2$为SA。第9行计算因素$B$的效应平方和$S_B=rt\sum _{j=1}^s({\overline{X}}_{\cdot j}-\overline{X}{)}^2$为SB。第10行计算因素的交互效应平方和$S_{AB}=t\sum _{i=1}^r\sum _{j=1}^s({\overline{X}}_{ij}-{\overline{X}}_{i\cdot }-{\overline{X}}_{\cdot j}+\overline{X}{)}^2$为SAB，正因为我们将Xi_bar和Xj_bar设置成了$r\times 1$和$1\times s$的矩阵，所以此处的表达式才几乎和数学表达式一样简洁。利用算得的数据$r$，$s$，$t$，$S_A$，$S_B$，$S_{AB}$和$S_E$计算假设
$$\begin{gathered} H_{01}:{\mu }_{i\cdot }-\mu =0,i=1,2,\cdots ,r \\ {H}_{02}:{\mu }_{\cdot j}-\mu =0,j=1,2,\cdots ,s \\ {H}_{03}:{\mu }_{ij}-{\mu }_{i\cdot }-{\mu }_{\cdot j}+\mu =0,i=1,2,\cdots ,r,j=1,2,\cdots ,s \end{gathered}$$
其中，令$\mu =\frac{1}{rs}\sum _{i=1}^r\sum _{j=1}^s{\mu }_{ij}$，${\mu }_{i\cdot }=\frac{1}{s}\sum _{j=1}^s{\mu }_{ij}$，${\mu }_{\cdot j}=\frac{1}{r}\sum _{i=1}^r{\mu }_{ij}$。接受$H_{01}$意味着因素A对试验没有显著影响；接受$H_{02}$，意味着因素B对试验结果没有显著影响；接受$H_{03}$意味因素A和B对试验结果没有交互影响。
下列代码定义在显著水平$\alpha$下检验假设$H_{01}$，$H_{02}$和$H_{03}$的函数。

def dfeTest(r, s, t, SA, SB, SAB, SE, alpha):F=(r*s*(t-1))*SA/SE/(r-1)				#H01检验统计量值accept1=ftestR(F, r-1, r*s*(t-1), alpha)F=(r*s*(t-1))*SB/SE/(s-1)				#H02检验统计量值accept2=ftestR(F, s-1,r*s*(t-1), alpha)F=(r*s*(t-1)*SAB)/((r-1)*(s-1)*SE)		#H03检验统计量值accept3=ftestR(F, (r-1)*(s-1), r*s*(t-1), alpha)return accept1, accept2, accept3

第2行设置假设$H_{01}$的检验统计量值$\frac{S_A/(r-1)}{S_E/rs(t-1)}$~$F(r-1,rs(t-1))$，第3行调用函数ftestR计算假设$H_{01}$的右侧检验。第4行设置$H_{02}$的检验统计量值$\frac{S_B/(s-1)}{S_E/(rs(t-1))}$~$F(s-1,rs(t-1))$，第5行计算假设$H_{02}$右侧的检验。第6行设置$H_{03}$的检验统计量值$\frac{S_{AB}/(r-1)(s-1)}{S_E/(rs(t-1))}$~$F((r-1)(s-1),rs(t-1))$，第7行计算假设$H_{03}$的右侧检验。
例1一火箭使用四种燃料，三种推进器作射程试验。每种燃料与每种推进器的组合各发射火箭两次，得射程（单位：海里）如下：

	推进器$B_1$	推进器$B_2$	推进器$B_3$
燃料$A_1$	58.2，52.6	56.2，41.2	65.3，60.8
燃料$A_2$	49.1，42.8	54.1，50.5	51.6，48,4
燃料$A_3$	60.1，58.3	70.9，73.2	39.2，40.7
燃料$A_4$	75.8，71.5	58.2，51.0	48.7，41.4

假定火箭对应第$i$种燃料，第$j$种推进器的射程服从$N({\mu }_{ij},{\sigma }^2)$，$1\le i\le 4$，$1\le j\le 3$。希望通过对试验数据的分析，判断选择最佳的燃料与推进器的搭配（$\alpha =0.05$）。
解： 下列代码计算本例。

alpha=0.05
X=np.array([[[58.2, 52.6],[56.2, 41.2],[65.3, 60.8]],[[49.1, 42.8],[54.1, 50.5],[51.6, 48.4]],[[60.1, 58.3],[70.9, 73.2],[39.2, 40.7]],[[75.8, 71.5],[58.2, 51.0],[48.7, 41.4]]])
r, s, t, SA, SB, SAB, SE=dfeDecompose(X)
H0=dfeTest(r, s, t, SA, SB, SAB, SE, alpha)
print(H0)

第1~5行按题面设置数据。第6行调用函数dfeDecompose分解样本总变差，得到数据$r$，$s$，$t$，$S_A$，$S_B$，$S_{AB}$和$S_E$。第7行调用函数dfeTest计算假设$H_{01}$，$H_{02}$和$H_{03}$的检验。运行程序，输出

(False, False, False)

表示拒绝假设$H_{01}$，$H_{02}$和$H_{03}$，燃料、推进器以及两者的组合都显著影响火箭的射程。由表观察可见燃料4和推进器1的组合有利于射程。
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