数学基础 -- 定积分之估算积分

本文主要是介绍数学基础 -- 定积分之估算积分，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

定积分的估算方法

在定积分计算中，常用的估算方法包括矩形法、梯形法、辛普森法和蒙特卡洛方法。

1. 矩形法

左矩形法

将区间 $[0, 1]$ 分为4个小区间，长度为 $\Delta x = 0.25$ 。

左端点为 $x_0 = 0$ ， $f(0) = 0^2 = 0$
左端点为 $x_1 = 0.25$ ， $f(0.25) = 0.25^2 = 0.0625$
左端点为 $x_2 = 0.5$ ， $f(0.5) = 0.5^2 = 0.25$
左端点为 $x_3 = 0.75$ ， $f(0.75) = 0.75^2 = 0.5625$

左矩形法的积分估计为：
$\text{估计值} = \Delta x \cdot (f(0) + f(0.25) + f(0.5) + f(0.75)) = 0.25 \cdot (0 + 0.0625 + 0.25 + 0.5625) = 0.21875$

右矩形法

将区间 $[0, 1]$ 分为4个小区间，长度为 $\Delta x = 0.25$ 。

右端点为 $x_1 = 0.25$ ， $f (0.25) = 0.0625$
右端点为 $x_2 = 0.5$ ， $f (0.5) = 0.25$
右端点为 $x_3 = 0.75$ ， $f (0.75) = 0.5625$
右端点为 $x_4 = 1$ ， $f(1) = 1^2 = 1$

右矩形法的积分估计为：
$\text{估计值} = \Delta x \cdot (f(0.25) + f(0.5) + f(0.75) + f(1)) = 0.25 \cdot (0.0625 + 0.25 + 0.5625 + 1) = 0.46875$

2. 梯形法

将区间 $[0, 1]$ 分为4个小区间，长度为 $\Delta x = 0.25$ ，计算梯形面积：

$f (0) = 0$
$f (0.25) = 0.0625$
$f (0.5) = 0.25$
$f (0.75) = 0.5625$
$f (1) = 1$

梯形法的积分估计为：
$\text{估计值} = \frac{\Delta x}{2} \cdot (f(0) + 2 \cdot f(0.25) + 2 \cdot f(0.5) + 2 \cdot f(0.75) + f(1))$
$\frac{0.25}{2} \cdot (0 + 2 \cdot 0.0625 + 2 \cdot 0.25 + 2 \cdot 0.5625 + 1) = 0.34375$

3. 辛普森法

辛普森法将区间分为偶数个小区间（这里也是4个），使用抛物线拟合：

$\text{估计值} = \frac{\Delta x}{3} \cdot (f(0) + 4 \cdot f(0.25) + 2 \cdot f(0.5) + 4 \cdot f(0.75) + f(1))$
$\frac{0.25}{3} \cdot (0 + 4 \cdot 0.0625 + 2 \cdot 0.25 + 4 \cdot 0.5625 + 1) = 0.3333333$

4. 蒙特卡洛方法

假设我们随机生成了10个点在 $[0, 1]$ 区间：

随机点： $x = [0.1, 0.15, 0.35, 0.5, 0.65, 0.8, 0.9, 0.95, 0.3, 0.7]$
对应的函数值： $f (x) = [0.01, 0.0225, 0.1225, 0.25, 0.4225, 0.64, 0.81, 0.9025, 0.09, 0.49]$

蒙特卡洛法的积分估计为：
$\text{估计值} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) = \frac{1}{10} \cdot (0.01 + 0.0225 + 0.1225 + 0.25 + 0.4225 + 0.64 + 0.81 + 0.9025 + 0.09 + 0.49) = 0.376$

总结

左矩形法：0.21875
右矩形法：0.46875
梯形法：0.34375
辛普森法：0.3333333
蒙特卡洛法：0.376

实际的积分值为：
$\int_0^1 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3} \approx 0.3333333$

辛普森法的实现与思想

辛普森法是一种数值积分的方法，属于复合数值积分技术的一种。它通过将被积函数在区间上的值使用抛物线进行近似，从而计算出积分值。辛普森法能够有效提高数值积分的精度，特别是在被积函数是连续且光滑的情况下。

辛普森法的思想

辛普森法的核心思想是利用抛物线来近似曲线。具体来说，它在积分区间上选取若干个点，将这些点之间的曲线用二次多项式（即抛物线）来代替。相比于梯形法将区间划分为直线，辛普森法用抛物线能够更好地逼近函数的实际形态，尤其是在函数曲线较平滑时。

一般形式

考虑函数 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的积分：

$\int_a^b f(x) \, dx$

辛普森法通过以下方式进行近似：

将区间 $[a, b]$ 分为偶数个子区间，每个子区间的宽度为 $h$ ：
$\frac{b - a}{n}$
其中 $n$ 为偶数。
在区间上选取划分点 $x_0 = a, x_1 = a + h, \dots, x_n = b$ 。
对于每三个点，使用二次多项式近似函数值，具体公式为：
$\int_{x_{2i}}^{x_{2i+2}} f(x) \, dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(x_{2i}) + 4f(x_{2i+1}) + f(x_{2i+2}) \right]$
将整个区间的积分近似为这些部分积分的和，得到复合辛普森法公式：
$\approx \frac{h}{3} \left[ f(x_0) + 4 \sum_{i=1,3,5,\dots}^{n-1} f(x_i) + 2 \sum_{i=2,4,6,\dots}^{n-2} f(x_i) + f(x_n) \right]$

实现步骤

划分区间： 将积分区间 $[a, b]$ 划分为 $n$ 个子区间，确保 $n$ 为偶数。
计算步长 $h$ ：
$\frac{b - a}{n}$
计算积分值：
- 首先计算端点函数值 $f(x_0)$ 和 $f(x_n)$ 。
- 计算奇数索引处函数值 $f(x_1), f(x_3), \dots, f(x_{n-1})$ 的和。
- 计算偶数索引处函数值 $f(x_2), f(x_4), \dots, f(x_{n-2})$ 的和。
- 使用辛普森法公式将结果组合，得到积分值。
输出结果： 得到近似的积分值。

Python 实现

def simpson(f, a, b, n):if n % 2 != 0:raise ValueError("区间划分数 n 必须为偶数")h = (b - a) / nx0 = f(a) + f(b)x1 = sum(f(a + i * h) for i in range(1, n, 2))x2 = sum(f(a + i * h) for i in range(2, n, 2))return (h / 3) * (x0 + 4 * x1 + 2 * x2)# 示例使用
import math
result = simpson(math.sin, 0, math.pi, 10)
print("积分结果:", result)

C语言实现

#include <stdio.h>
#include <math.h>double f(double x) {// 被积函数，例如 f(x) = sin(x)return sin(x);
}double simpson(double (*f)(double), double a, double b, int n) {if (n % 2 != 0) {printf("区间划分数 n 必须为偶数\n");return -1;}double h = (b - a) / n;double sum_odd = 0.0, sum_even = 0.0, result;// 计算奇数索引处的函数值和偶数索引处的函数值for (int i = 1; i < n; i += 2) {sum_odd += f(a + i * h);}for (int i = 2; i < n; i += 2) {sum_even += f(a + i * h);}// 使用辛普森公式计算积分result = (h / 3.0) * (f(a) + 4.0 * sum_odd + 2.0 * sum_even + f(b));return result;
}int main() {double a = 0.0;double b = M_PI;  // 积分区间 [0, π]int n = 10;  // 划分为10个区间double result = simpson(f, a, b, n);if (result != -1) {printf("积分结果: %f\n", result);}return 0;
}