计算绕原点旋转某角度后的点的坐标

本文主要是介绍计算绕原点旋转某角度后的点的坐标，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

问题：

A点（x, y）按顺时针旋转 theta 角度后点的坐标为A1点(x1,y1) ，求x1 y1坐标用（x，y）和 theta 来表示

方法一：

设 OA 向量和x轴的角度为 alpha ，

那么顺时针转过 theta后，OA1 向量和x轴的角度为 (alpha - theta) 。

使用圆的参数方程来表示点坐标。A的坐标可以表示为：

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = r \cdot \cos \alpha } \\
{y = r \cdot \sin \alpha }
\end{array}} \right.\]

A1的坐标可以表示为（带入A点坐标进行化简）

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1} = r \cdot \cos (\alpha - \theta ) = r \cdot (\cos \alpha \cos \theta + \sin \alpha \sin \theta ) = x \cdot \cos \theta + y \cdot \sin \theta } \\
{{y_1} = r \cdot \sin (\alpha - \theta ) = r \cdot (\sin \alpha \cos \theta - \cos \alpha \sin \theta ) = - x \cdot \sin \theta + y \cdot \cos \theta }
\end{array}} \right.\]

写成矩阵形式：

\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\cos \theta }&{\sin \theta } \\
{ - \sin \theta }&{\cos \theta }
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x \\
y
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1}} \\
{{y_1}}
\end{array}} \right)\]

方法二：

点顺时针转，相当于点不变，让坐标轴逆指针转。

坐标为(x,y),可以看成：

x值是点表示的向量，与x正轴单位向量的点积。

y值是点表示的向量，与y正轴单位向量的点积。

即在x轴和y轴上，带方向的投影长度。

所以问题等价的转化为：坐标轴逆时针转了theta，求点在新的坐标系下的坐标。

新的坐标系的x正轴单位向量为（用原来的坐标系来表示）

\[(\cos \theta ,\sin \theta )\]

新的坐标系的y正轴单位向量为

\[( - \sin \theta ,\cos \theta )\]

所以

A点新的坐标系下的x值 x1= 点积（A点坐标，新坐标系x正轴单位向量）

A点新的坐标系下的y值 y1= 点积（A点坐标，新坐标系y正轴单位向量）

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1} = x \cdot \cos \theta + y \cdot \sin \theta } \\
{{y_1} = - x \cdot \sin \theta + y \cdot \cos \theta }
\end{array}} \right.\]

即