代数扩张次数关系定理

2024-06-23 10:12

本文主要是介绍代数扩张次数关系定理,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

【单代数扩张同构引理】

对于单扩张 K / F \mathbb{K/F} K/F有同构 F [ a ] ≅ F [ x ] / ⟨ f ( x ) ⟩ \mathbb{F}\lbrack a\rbrack \cong \mathbb{F}\lbrack x\rbrack/\left\langle f(x) \right\rangle F[a]F[x]/f(x),其中 a ∈ K a \in \mathbb{K} aK为本原元素, F [ x ] \mathbb{F}\lbrack x\rbrack F[x]为域 F \mathbb{F} F上的一元多项式环, F [ x ] \mathbb{F}\lbrack x\rbrack F[x]显然是个欧几里得整环, ⟨ f ( x ) ⟩ \left\langle f(x) \right\rangle f(x) F [ x ] \mathbb{F}\lbrack x\rbrack F[x]上的极小多项式 f ( x ) f(x) f(x)生成的理想, F [ x ] / ⟨ f ( x ) ⟩ \mathbb{F}\lbrack x\rbrack/\left\langle f(x) \right\rangle F[x]/f(x)为商域。

【备注】

  1. 对于 ∀ F ( x ) ∈ F [ x ] \forall F(x)\mathbb{\in F}\lbrack x\rbrack F(x)F[x],必有 Q ( x ) 、 R ( x ) ∈ F [ x ] Q(x)、R(x)\mathbb{\in F}\lbrack x\rbrack Q(x)R(x)F[x]满足 F [ x ] = Q [ x ] × f ( x ) + R ( x ) F\lbrack x\rbrack = Q\lbrack x\rbrack \times f(x) + R(x) F[x]=Q[x]×f(x)+R(x),其中 deg ⁡ ( f ) > deg ⁡ ( R ) \deg{(f)} > \deg(R) deg(f)>deg(R)。根据引理,对于任意的 F 1 ( x ) 、 F 2 ( x ) F_{1}(x)、F_{2}(x) F1(x)F2(x)对应的新增扩域元素 F 1 ( a ) 、 F 2 ( a ) ∈ K F_{1}(a)、F_{2}(a)\mathbb{\in K} F1(a)F2(a)K,只要 R 1 ( a ) = R 2 ( a ) R_{1}(a) = R_{2}(a) R1(a)=R2(a),那么必有 F 1 ( a ) = F 2 ( a ) F_{1}(a) = F_{2}(a) F1(a)=F2(a)

  2. 另外对于任意的 F ( a ) ≠ 0 F(a) \neq 0 F(a)=0,都有一个 F f − 1 ( x ) ∈ F [ x ] F_{f}^{- 1}(x)\mathbb{\in F}\lbrack x\rbrack Ff1(x)F[x],满足 F ( a ) × F f − 1 ( a ) = 1 F(a) \times F_{f}^{- 1}(a) = 1 F(a)×Ff1(a)=1

根据线性空间的基的个数( = = =扩张次数 = = =极小多项式的次数 = n = n =n),因为对于 n + 1 n + 1 n+1个元素

1 、 F ( a ) 、 ( F ( a ) ) 2 、 ( F ( a ) ) 3 … … ( F ( a ) ) n 1、F(a)、\left( F(a) \right)^{2}、\left( F(a) \right)^{3}\ldots\ldots\left( F(a) \right)^{n} 1F(a)(F(a))2(F(a))3……(F(a))n

必然线性相关,即有 l 0 、 l 1 、 l 2 … … l n ∈ F l_{0}、l_{1}、l_{2}\ldots\ldots l_{n} \in \mathbb{F} l0l1l2……lnF满足

l 0 ( F ( a ) ) 0 + l 1 ( F ( a ) ) 1 + l 2 ( F ( a ) ) 2 + l 3 ( F ( a ) ) 3 + … … + ( F ( a ) ) n = 0 l_{0}\left( F(a) \right)^{0} + l_{1}\left( F(a) \right)^{1} + l_{2}\left( F(a) \right)^{2} + l_{3}\left( F(a) \right)^{3} + \ldots\ldots + \left( F(a) \right)^{n} = 0 l0(F(a))0+l1(F(a))1+l2(F(a))2+l3(F(a))3+……+(F(a))n=0

取第一个不为零的 l k l_{k} lk,那么有

( F ( a ) ) k ∑ i = k n l i ( F ( a ) ) i − k = 0 \left( F(a) \right)^{k}\sum_{i = k}^{n}{l_{i}\left( F(a) \right)^{i - k}} = 0 (F(a))ki=knli(F(a))ik=0

由于

F ( a ) ≠ 0 F(a) \neq 0 F(a)=0
所以

∑ i = k n l i ( F ( a ) ) i − k = 0 \sum_{i = k}^{n}{l_{i}\left( F(a) \right)^{i - k}} = 0 i=knli(F(a))ik=0

整理得
∑ i = k + 1 n l i ( F ( a ) ) i − k = − l k \sum_{i = k + 1}^{n}{l_{i}\left( F(a) \right)^{i - k}} = - l_{k} i=k+1nli(F(a))ik=lk

F ( a ) ( ( − l k ) − 1 ∑ i = k + 1 n l i ( F ( a ) ) i − k − 1 ) = 1 F(a)\left( \left( - l_{k} \right)^{- 1}\sum_{i = k + 1}^{n}{l_{i}\left( F(a) \right)^{i - k - 1}} \right) = 1 F(a)((lk)1i=k+1nli(F(a))ik1)=1

也就是

F f − 1 ( x ) = ( − l k ) − 1 ∑ i = k + 1 n l i ( F ( x ) ) i − k − 1 F_{f}^{- 1}(x) = \left( - l_{k} \right)^{- 1}\sum_{i = k + 1}^{n}{l_{i}\left( F(x) \right)^{i - k - 1}} Ff1(x)=(lk)1i=k+1nli(F(x))ik1

换句话说 F ( a ) ≠ 0 F(a) \neq 0 F(a)=0有一个逆元一个 F f − 1 ( a ) F_{f}^{- 1}(a) Ff1(a),其中 F f − 1 ( x ) ∈ F [ x ] F_{f}^{- 1}(x)\mathbb{\in F}\lbrack x\rbrack Ff1(x)F[x]为一个一元多项式。

【代数扩张次数关系定理】

考虑扩域 [ K : F ] \left\lbrack \mathbb{K:F} \right\rbrack [K:F] [ L : K ] \left\lbrack \mathbb{L:K} \right\rbrack [L:K],则有 [ L : F ] = [ K : F ] × [ L : K ] \left\lbrack \mathbb{L:F} \right\rbrack = \left\lbrack \mathbb{K:F} \right\rbrack \times \left\lbrack \mathbb{L:K} \right\rbrack [L:F]=[K:F]×[L:K]

【证明】

  1. [ K : F ] \left\lbrack \mathbb{K:F} \right\rbrack [K:F] [ L : K ] \left\lbrack \mathbb{L:K} \right\rbrack [L:K]为连续的两个单扩张时, [ L : F ] = [ L : K ] × [ K : F ] \left\lbrack \mathbb{L:F} \right\rbrack = \left\lbrack \mathbb{L:K} \right\rbrack \times \left\lbrack \mathbb{K:F} \right\rbrack [L:F]=[L:K]×[K:F]成立

首先,设 [ K : F ] \left\lbrack \mathbb{K:F} \right\rbrack [K:F]的单扩张的本原元素为 k ∈ K k\mathbb{\in K} kK,扩张次数为 n n n [ L : K ] \left\lbrack \mathbb{L:K} \right\rbrack [L:K]的单次扩张的本原元素为 l ∈ L l \in \mathbb{L} lL,扩张次数为 m m m

对于 K / F \mathbb{K/F} K/F,根据【单扩张同构引理】,任意 K ( l ) ∈ K K(l)\mathbb{\in K} K(l)K,都可化为一个次数为 m − 1 m - 1 m1 K ^ [ x ] ∈ K \widehat{K}\lbrack x\rbrack\mathbb{\in K} K [x]K的对应值,

K ( l ) = K ^ ( l ) = ∑ i = 0 m − 1 k i l i k i ∈ K K ^ ( x ) 、 K ( x ) ∈ K [ x ] deg ⁡ ( K ^ ( x ) ) = m − 1 K(l) = \widehat{K}(l) = \sum_{i = 0}^{m - 1}{k_{i}l^{i}}\ \ \ \ \ \ \ k_{i}\mathbb{\in K\ \ \ \ \ \ }\widehat{K}(x)、K(x)\mathbb{\in K}\lbrack x\rbrack\ \ \ \ \ \ \deg\left( \widehat{K}(x) \right) = m - 1 K(l)=K (l)=i=0m1kili       kiK      K (x)K(x)K[x]      deg(K (x))=m1

对于 L / K \mathbb{L/K} L/K,同理,对于任意的 k i k_{i} ki,都有

k i = F ^ ( k ) = ∑ i = 0 n − 1 f i k i = F ( k ) f i ∈ F F ^ ( x ) 、 F ( x ) ∈ F [ x ] deg ⁡ ( F ^ ( x ) ) = n − 1 k_{i} = \widehat{F}(k) = \sum_{i = 0}^{n - 1}{f_{i}k^{i}} = F(k)\ \ \ \ \ \ \ f_{i}\mathbb{\in F\ \ \ \ \ \ \ }\widehat{F}(x)、F(x)\mathbb{\in F}\lbrack x\rbrack\ \ \ \ \ \ \deg\left( \widehat{F}(x) \right) = n - 1 ki=F (k)=i=0n1fiki=F(k)       fiF       F (x)F(x)F[x]      deg(F (x))=n1

区别不同 K ( l ) K(l) K(l)是根据 k i k_{i} ki的不同值,只要有一个 k i k_{i} ki不同,那么 K ( l ) K(l) K(l)必定不同,否则相同;同理,区别不同 k i k_{i} ki,即区分不同 F ( k ) F(k) F(k)是根据 f i f_{i} fi的不同值,只要有一个 f i f_{i} fi不同,那么 F ( k ) F(k) F(k)必定不同,否则相同。

对于 L / F \mathbb{L/F} L/F的扩域过程,因为

K ( l ) = K ^ ( l ) = ∑ i = 0 m − 1 k i l i = ∑ i = 0 m − 1 ∑ j = 0 n − 1 f i , j l i k j K(l) = \widehat{K}(l) = \sum_{i = 0}^{m - 1}{k_{i}l^{i}} = \sum_{i = 0}^{m - 1}{\sum_{j = 0}^{n - 1}{f_{i,j}l^{i}k^{j}}} K(l)=K (l)=i=0m1kili=i=0m1j=0n1fi,jlikj

所以连续的两个单扩张的总扩张次数等于两个单扩张的各自扩张次数的乘积( = n × m = n \times m =n×m)。

  1. [ L : F ] = [ K : F ] × [ L : K ] \left\lbrack \mathbb{L:F} \right\rbrack = \left\lbrack \mathbb{K:F} \right\rbrack \times \left\lbrack \mathbb{L:K} \right\rbrack [L:F]=[K:F]×[L:K]

一般地,一个域扩张可由多个单次扩张构成,也就是 L / F \mathbb{L}/\mathbb{F} L/F的扩域过程可分为若干单次扩域,这些单次扩域分成两个阶段,第一个阶段是 K / F \mathbb{K}/\mathbb{F} K/F,第二个阶段是 L / K \mathbb{L}/\mathbb{K} L/K,显然有 [ L : F ] = [ K : F ] × [ L : K ] \left\lbrack \mathbb{L:F} \right\rbrack = \left\lbrack \mathbb{K:F} \right\rbrack \times \left\lbrack \mathbb{L:K} \right\rbrack [L:F]=[K:F]×[L:K]

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http://www.chinasem.cn/article/1086861

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