多元多项式的特征列与零点的关系定理

2024-06-17 23:44

本文主要是介绍多元多项式的特征列与零点的关系定理,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

下面这个定理来自《计算机代数》6.1三角列与特征列(王东明、夏壁灿著)

【定理】

C = [ C 1 , … , C r ] \mathbb{C =}\left\lbrack C_{1},\ldots,C_{r} \right\rbrack C=[C1,,Cr]为多项式组 P ⊂ K [ x ] \mathbb{P \subset}\mathcal{K\lbrack}\mathbf{x}\rbrack PK[x]的特征列,且命

I i = i n i ( C i ) P i = P ∪ { I i } i = 1 , … , r I_{i} = ini\left( C_{i} \right)\ \ \ \ \ \ \mathbb{P}_{i}\mathbb{= P \cup}\left\{ I_{i} \right\}\ \ \ \ \ i = 1,\ldots,r Ii=ini(Ci)      Pi=P{Ii}     i=1,,r

I = i n i ( C ) = { I 1 , … , I r } \mathbb{I =}ini\left( \mathbb{C} \right) = \left\{ I_{1},\ldots,I_{r} \right\} I=ini(C)={I1,,Ir}

Z e r o ( C \ I ) ⊂ Z e r o ( P ) ⊂ Z e r o ( C ) Zero\left( \mathbb{C\backslash I} \right) \subset Zero\left( \mathbb{P} \right) \subset Zero\left( \mathbb{C} \right) Zero(C\I)Zero(P)Zero(C)

Z e r o ( P ) = Z e r o ( C \ I ) ∪ ⋃ i = 1 r Z e r o ( P i ) Zero\left( \mathbb{P} \right) = Zero\left( \mathbb{C\backslash I} \right) \cup \bigcup_{i = 1}^{r}{Zero\left( \mathbb{P}_{i} \right)} Zero(P)=Zero(C\I)i=1rZero(Pi)

K \mathcal{K} K以及 K \mathcal{K} K的任意扩域中成立

【证明】

  1. Z e r o ( C \ I ) ⊂ Z e r o ( P ) Zero\left( \mathbb{C\backslash I} \right) \subset Zero\left( \mathbb{P} \right) Zero(C\I)Zero(P)

由于 C = [ C 1 , … , C r ] \mathbb{C =}\left\lbrack C_{1},\ldots,C_{r} \right\rbrack C=[C1,,Cr]为多项式组 P ⊂ K [ x ] \mathbb{P \subset}\mathcal{K\lbrack}\mathbf{x}\rbrack PK[x]的特征列,所以 p r e m ( P , C ) = { 0 } prem\left( \mathbb{P,C} \right) = \left\{ 0 \right\} prem(P,C)={0},也就是说对于任意 P ∈ P P \in \mathbb{P} PP,都有

I 1 q 1 … I r q r P = ∑ i = 1 r C i I_{1}^{q_{1}}\ldots I_{r}^{q_{r}}P = \sum_{i = 1}^{r}C_{i} I1q1IrqrP=i=1rCi

而对于任意的 x ∈ Z e r o ( C \ I ) x \in Zero\left( \mathbb{C\backslash I} \right) xZero(C\I),都有 x ∉ Z e r o ( I 1 q 1 … I r q r ) x \notin Zero\left( I_{1}^{q_{1}}\ldots I_{r}^{q_{r}} \right) x/Zero(I1q1Irqr) x ∈ Z e r o ( C i ) x \in Zero\left( C_{i} \right) xZero(Ci),那么 P = 0 P = 0 P=0,可得 x ∈ Z e r o ( P ) x \in Zero\left( \mathbb{P} \right) xZero(P),即 Z e r o ( C \ I ) ⊂ Z e r o ( P ) Zero\left( \mathbb{C\backslash I} \right) \subset Zero\left( \mathbb{P} \right) Zero(C\I)Zero(P)

  1. Z e r o ( P ) ⊂ Z e r o ( C ) Zero\left( \mathbb{P} \right) \subset Zero\left( \mathbb{C} \right) Zero(P)Zero(C)

根据特征列的定义,有 C ⊂ ⟨ P ⟩ \mathbb{C \subset}\left\langle \mathbb{P} \right\rangle CP,也就是

C i = ∑ P ∈ P k P P C_{i} = \sum_{P \in \mathbb{P}}^{}{k_{P}P} Ci=PPkPP

所以,当多项式 P P P的值为 0 0 0时, C i C_{i} Ci必为 0 0 0,即 Z e r o ( P ) ⊂ Z e r o ( C ) Zero\left( \mathbb{P} \right) \subset Zero\left( \mathbb{C} \right) Zero(P)Zero(C)

  1. Z e r o ( P ) ⊂ Z e r o ( C \ I ) ∪ ⋃ i = 1 r Z e r o ( P i ) Zero\left( \mathbb{P} \right) \subset Zero\left( \mathbb{C\backslash I} \right) \cup \bigcup_{i = 1}^{r}{Zero\left( \mathbb{P}_{i} \right)} Zero(P)Zero(C\I)i=1rZero(Pi)

x ∈ Z e r o ( P ) x \in Zero\left( \mathbb{P} \right) xZero(P),根据2,那么有 x ∈ Z e r o ( C ) x \in Zero\left( \mathbb{C} \right) xZero(C)

x ∈ Z e r o ( I ) x \in Zero\left( \mathbb{I} \right) xZero(I),则 x ∈ ⋃ i = 1 r Z e r o ( I i ) x \in \bigcup_{i = 1}^{r}{Zero\left( I_{i} \right)} xi=1rZero(Ii),又因为 x ∈ Z e r o ( P ) x \in Zero\left( \mathbb{P} \right) xZero(P),所以 x ∈ ⋃ i = 1 r Z e r o ( P i ) x \in \bigcup_{i = 1}^{r}{Zero\left( \mathbb{P}_{i} \right)} xi=1rZero(Pi)

x ∉ Z e r o ( I ) x \notin Zero\left( \mathbb{I} \right) x/Zero(I),结合 x ∈ Z e r o ( C ) x \in Zero\left( \mathbb{C} \right) xZero(C),可得 x ∈ Z e r o ( C \ I ) x \in Zero\left( \mathbb{C\backslash I} \right) xZero(C\I)

结合上述两种情况的讨论,可得 Z e r o ( P ) ⊂ Z e r o ( C \ I ) ∪ ⋃ i = 1 r Z e r o ( P i ) Zero\left( \mathbb{P} \right) \subset Zero\left( \mathbb{C\backslash I} \right) \cup \bigcup_{i = 1}^{r}{Zero\left( \mathbb{P}_{i} \right)} Zero(P)Zero(C\I)i=1rZero(Pi)

  1. Z e r o ( P ) ⊃ Z e r o ( C \ I ) ∪ ⋃ i = 1 r Z e r o ( P i ) Zero\left( \mathbb{P} \right) \supset Zero\left( \mathbb{C\backslash I} \right) \cup \bigcup_{i = 1}^{r}{Zero\left( \mathbb{P}_{i} \right)} Zero(P)Zero(C\I)i=1rZero(Pi)

根据1, Z e r o ( C \ I ) ⊂ Z e r o ( P ) Zero\left( \mathbb{C\backslash I} \right) \subset Zero\left( \mathbb{P} \right) Zero(C\I)Zero(P)

因为 Z e r o ( P i ) ⊂ Z e r o ( P ) Zero\left( \mathbb{P}_{i} \right) \subset Zero\left( \mathbb{P} \right) Zero(Pi)Zero(P),所以 ⋃ i = 1 r Z e r o ( P i ) ⊂ Z e r o ( P ) \bigcup_{i = 1}^{r}{Zero\left( \mathbb{P}_{i} \right)} \subset Zero\left( \mathbb{P} \right) i=1rZero(Pi)Zero(P)

综合可得 Z e r o ( C \ I ) ∪ ⋃ i = 1 r Z e r o ( P i ) ⊂ Z e r o ( P ) Zero\left( \mathbb{C\backslash I} \right) \cup \bigcup_{i = 1}^{r}{Zero\left( \mathbb{P}_{i} \right)} \subset Zero\left( \mathbb{P} \right) Zero(C\I)i=1rZero(Pi)Zero(P)

综合1、2可得
Z e r o ( C \ I ) ⊂ Z e r o ( P ) ⊂ Z e r o ( C ) Zero\left( \mathbb{C\backslash I} \right) \subset Zero\left( \mathbb{P} \right) \subset Zero\left( \mathbb{C} \right) Zero(C\I)Zero(P)Zero(C)

综合3、4可得
Z e r o ( P ) = Z e r o ( C \ I ) ∪ ⋃ i = 1 r Z e r o ( P i ) Zero\left( \mathbb{P} \right) = Zero\left( \mathbb{C\backslash I} \right) \cup \bigcup_{i = 1}^{r}{Zero\left( \mathbb{P}_{i} \right)} Zero(P)=Zero(C\I)i=1rZero(Pi)

这篇关于多元多项式的特征列与零点的关系定理的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助!



http://www.chinasem.cn/article/1070723

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