本文主要是介绍【基础算法】(08)五大常用算法之四:回溯法,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!
【基础算法】(08)五大常用算法之四:回溯法
Auther: Thomas Shen
E-mail: Thomas.shen3904@qq.com
Date: 2017/10/24
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- 基础算法08五大常用算法之四回溯法
- 简述
- 算法原理
- 1 基本思想
- 2 算法步骤
- 代码框架
- 应用案例
- References
- 基础算法08五大常用算法之四回溯法
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1. 简述:
本系列介绍了五大常用算法,其中本文是第四篇,介绍了 ‘回溯算法’ 的细节内容。
2. 算法原理:
回溯算法实际上一个类似枚举的搜索尝试过程,主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解,当发现已不满足求解条件时,就“回溯”返回,尝试别的路径。
回溯法是一种选优搜索法,按选优条件向前搜索,以达到目标。但当探索到某一步时,发现原先选择并不优或达不到目标,就退回一步重新选择,这种走不通就退回再走的技术为回溯法,而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。
许多复杂的,规模较大的问题都可以使用回溯法,有“通用解题方法”的美称。
2.1 基本思想:
在包含问题的所有解的解空间树中,按照深度优先搜索的策略,从根结点出发深度探索解空间树。当探索到某一结点时,要先判断该结点是否包含问题的解,如果包含,就从该结点出发继续探索下去,如果该结点不包含问题的解,则逐层向其祖先结点回溯。(其实回溯法就是对隐式图的深度优先搜索算法)。
若用回溯法求问题的所有解时,要回溯到根,且根结点的所有可行的子树都要已被搜索遍才结束。
而若使用回溯法求任一个解时,只要搜索到问题的一个解就可以结束。
2.2 算法步骤:
- 针对所给问题,确定问题的解空间;
- 首先应明确定义问题的解空间,问题的解空间应至少包含问题的一个(最优)解;
- 确定结点的扩展搜索规则;
- 以深度优先方式搜索解空间,并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。
3. 代码框架:
- 问题框架:
设问题的解是一个n维向量(a1,a2,………,an),约束条件是ai(i=1,2,3,…..,n)之间满足某种条件,记为f(ai)。
- 非递归回溯框架:
int a[n],i;
初始化数组a[];
i = 1;
while (i>0(有路可走) and (未达到目标)) // 还未回溯到头
{if(i > n) // 搜索到叶结点{ 搜索到一个解,输出;}else // 处理第i个元素{ a[i]第一个可能的值;while(a[i]在不满足约束条件且在搜索空间内){a[i]下一个可能的值;}if(a[i]在搜索空间内){标识占用的资源;i = i+1; // 扩展下一个结点}else {清理所占的状态空间; // 回溯i = i –1; }}
}
- 递归的算法框架:
回溯法是对解空间的深度优先搜索,在一般情况下使用递归函数来实现回溯法比较简单。
在回溯法执行时,应当:保存当前步骤,如果是一个解就输出;维护状态,使搜索路径(含子路径)尽量不重复。必要时,应该对不可能为解的部分进行剪枝(pruning)。
bool finished = FALSE; /* 是否获得全部解? */
backtrack(int a[], int k, data input)
{int c[MAXCANDIDATES]; /*这次搜索的候选 */int ncandidates; /* 候选数目 */int i; /* counter */if (is_a_solution(a,k,input))process_solution(a,k,input);else {k = k+1;construct_candidates(a,k,input,c,&ncandidates);for (i=0; i<ncandidates; i++) {a[k] = c[i];make_move(a,k,input);backtrack(a,k,input);unmake_move(a,k,input);if (finished) return; /* 如果符合终止条件就提前退出 */}}
}
对于其中的函数和变量,解释如下:
a[]表示当前获得的部分解;
k表示搜索深度;
input表示用于传递的更多的参数;
is_a_solution(a,k,input)判断当前的部分解向量a[1…k]是否是一个符合条件的解;
construct_candidates(a,k,input,c,ncandidates)根据目前状态,构造这一步可能的选择,存入c[]数组,其长度存入ncandidates;
process_solution(a,k,input)对于符合条件的解进行处理,通常是输出、计数等;
make_move(a,k,input)和unmake_move(a,k,input)前者将采取的选择更新到原始数据结构上,后者把这一行为撤销。
4. 应用案例:
- 0-1背包问题;
- 旅行售货员问题;
- 八皇后问题;
- 迷宫问题;
- 图的m着色问题。
1. 0-1背包问题:
问题:给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi,其价值为pi,背包的容量为C。问应如何选择装入背包的物品,使得装入背包中物品的总价值最大?
分析:问题是n个物品中选择部分物品,可知,问题的解空间是子集树。比如物品数目n=3时,其解空间树如下图,边为1代表选择该物品,边为0代表不选择该物品。使用x[i]表示物品i是否放入背包,x[i]=0表示不放,x[i]=1表示放入。回溯搜索过程,如果来到了叶子节点,表示一条搜索路径结束,如果该路径上存在更优的解,则保存下来。如果不是叶子节点,是中点的节点(如B),就遍历其子节点(D和E),如果子节点满足剪枝条件,就继续回溯搜索子节点。
#include <stdio.h>
#define N 3 //物品的数量
#define C 16 //背包的容量 int w[N]={10,8,5}; //每个物品的重量
int v[N]={5,4,1}; //每个物品的价值
int x[N]={0,0,0}; //x[i]=1代表物品i放入背包,0代表不放入 int CurWeight = 0; //当前放入背包的物品总重量
int CurValue = 0; //当前放入背包的物品总价值 int BestValue = 0; //最优值;当前的最大价值,初始化为0
int BestX[N]; //最优解;BestX[i]=1代表物品i放入背包,0代表不放入 //t = 0 to N-1
void backtrack(int t)
{ //叶子节点,输出结果 if(t>N-1) { //如果找到了一个更优的解 if(CurValue>BestValue) { //保存更优的值和解 BestValue = CurValue; for(int i=0;i<N;++i) BestX[i] = x[i]; } } else { //遍历当前节点的子节点:0 不放入背包,1放入背包 for(int i=0;i<=1;++i) { x[t]=i; if(i==0) //不放入背包 { backtrack(t+1); } else //放入背包 { //约束条件:放的下 if((CurWeight+w[t])<=C) { CurWeight += w[t]; CurValue += v[t]; backtrack(t+1); CurWeight -= w[t]; CurValue -= v[t]; } } } //PS:上述代码为了更符合递归回溯的范式,并不够简洁 }
} int main(int argc, char* argv[])
{ backtrack(0); printf("最优值:%d\n",BestValue); for(int i=0;i<N;i++) { printf("最优解:%-3d",BestX[i]); } return 0;
}
2. 旅行售货员问题:
问题描述:
某售货员要到若干城市去推销商品,已知各城市之间的路程(或旅费)。他要选定一条从驻地出发,经过每个城市一次,最后回到驻地的路线,使总的路程(或总旅费)最小。
如下图:1,2,3,4 四个城市及其路线费用图,任意两个城市之间不一定都有路可达。
回溯法:
http://blog.csdn.net/jarvischu/article/details/6058931
/********************************************************* *问 题:旅行售货员 *算 法:回溯法 *描 述:解空间为 排列树 *********************************************************/
#include <stdio.h>
#define N 4 //城市数目
#define NO_PATH -1 //没有通路
#define MAX_WEIGHT 4000
int City_Graph[N+1][N+1]; //保存图信息
int x[N+1]; //x[i]保存第i步遍历的城市
int isIn[N+1]; //保存 城市i是否已经加入路径
int bestw; //最优路径总权值
int cw; //当前路径总权值
int bestx[N+1]; //最优路径
//-----------------------------------------------------------------
void Travel_Backtrack(int t){ //递归法 int i,j; if(t>N){ //走完了,输出结果 for(i=1;i<=N;i++) //输出当前的路径 printf("%d ",x[i]); printf("/n"); if(cw < bestw){ //判断当前路径是否是更优解 for (i=1;i<=N;i++){ bestx[i] = x[i]; } bestw = cw; } return; } else{ for(j=1;j<=N;j++){ //找到第t步能走的城市 if(City_Graph[x[t-1]][j] != NO_PATH && !isIn[j]){ //能到而且没有加入到路径中 isIn[j] = 1; x[t] = j; cw += City_Graph[x[t-1]][j]; Travel_Backtrack(t+1); isIn[j] = 0; x[t] = 0; cw -= City_Graph[x[t-1]][j]; } } }
}
void main(){ int i; City_Graph[1][1] = NO_PATH; City_Graph[1][2] = 30; City_Graph[1][3] = 6; City_Graph[1][4] = 4; City_Graph[2][1] = 30; City_Graph[2][2] = NO_PATH; City_Graph[2][3] = 5; City_Graph[2][4] = 10; City_Graph[3][1] = 6; City_Graph[3][2] = 5; City_Graph[3][3] = NO_PATH; City_Graph[3][4] = 20; City_Graph[4][1] = 4; City_Graph[4][2] = 10; City_Graph[4][3] = 20; City_Graph[4][4] = NO_PATH; //测试递归法 for (i=1;i<=N;i++){ x[i] = 0; //表示第i步还没有解 bestx[i] = 0; //还没有最优解 isIn[i] = 0; //表示第i个城市还没有加入到路径中 } x[1] = 1; //第一步 走城市1 isIn[1] = 1; //第一个城市 加入路径 bestw = MAX_WEIGHT; cw = 0; Travel_Backtrack(2); //从第二步开始选择城市 printf("最优值为%d/n",bestw); printf("最优解为:/n"); for(i=1;i<=N;i++){ printf("%d ",bestx[i]); } printf("/n");
}
分支界限法:
http://blog.csdn.net/JarvisChu/article/details/5974895
3. N皇后问题:
问题:
在n×n格的棋盘上放置彼此不受攻击的n个皇后。按照国际象棋的规则,皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。
N皇后问题等价于在n×n格的棋盘上放置n个皇后,任何2个皇后不放在同一行或同一列或同一斜线上。
分析:
从n×n个格子中选择n个格子摆放皇后。可见解空间树为子集树。
使用Board[N][N]来表示棋盘,Board[i][j]=0 表示(I,j)位置为空,Board[i][j]=1 表示(I,j)位置摆放有一个皇后。
全局变量way表示总共的摆放方法数目。
使用Queen(t)来摆放第t个皇后。Queen(t) 函数符合子集树时的递归回溯范式。当t>N时,说明所有皇后都已经摆 放完成,这是一个可行的摆放方法,输出结果;否则,遍历棋盘,找皇后t所有可行的摆放位置,Feasible(i,j) 判断皇后t能否摆放在位置(i,j)处,如果可以摆放则继续递归摆放皇后t+1,如果不能摆放,则判断下一个位置。
Feasible(row,col)函数首先判断位置(row,col)是否合法,继而判断(row,col)处是否已有皇后,有则冲突,返回0,无则继续判断行、列、斜方向是否冲突。斜方向分为左上角、左下角、右上角、右下角四个方向,每次从(row,col)向四个方向延伸一个格子,判断是否冲突。如果所有方向都没有冲突,则返回1,表示此位置可以摆放一个皇后。
/************************************************************************ * 名 称:NQueen.cpp * 功 能:回溯算法实例:N皇后问题 * 作 者:JarvisChu * 时 间:2013-11-13 ************************************************************************/
#include <stdio.h>
#define N 8 int Board[N][N];<span style="white-space:pre"> </span>//棋盘 0表示空白 1表示有皇后
int way;<span style="white-space:pre"> </span>//摆放的方法数 //判断能否在(x,y)的位置摆放一个皇后;0不可以,1可以
int Feasible(int row,int col)
{ //位置不合法 if(row>N || row<0 || col >N || col<0) return 0; //该位置已经有皇后了,不能 if(Board[row][col] != 0) { //在行列冲突判断中也包含了该判断,单独提出来为了提高效率 return 0; } ////////////////////////////////////////////////// //下面判断是否和已有的冲突 //行和列是否冲突 for(int i=0;i<N;++i) { if(Board[row][i] != 0 || Board[i][col]!=0) return 0; } //斜线方向冲突 for(int i=1;i<N;++i) {
/* i表示从当前点(row,col)向四个斜方向扩展的长度 左上角 \ / 右上角 i=2 \/ i=1 /\ i=1
左下角 / \ 右下角 i=2
*/ //左上角 if((row-i)>=0 && (col-i)>=0) //位置合法 { if(Board[row-i][col-i] != 0)//此处已有皇后,冲突 return 0; } //左下角 if((row+i)<N && (col-i)>=0) { if(Board[row+i][col-i] != 0) return 0; } //右上角 if((row-i)>=0 && (col+i)<N) { if(Board[row-i][col+i] != 0) return 0; } //右下角 if((row+i)<N && (col+i)<N) { if(Board[row+i][col+i] != 0) return 0; } } return 1; //不会发生冲突,返回1
} //摆放第t个皇后 ;从1开始
void Queen(int t)
{ //摆放完成,输出结果 if(t>N) { way++; /*如果N较大,输出结果会很慢;N较小时,可以用下面代码输出结果 for(int i=0;i<N;++i){ for(int j=0;j<N;++j) printf("%-3d",Board[i][j]); printf("\n"); } printf("\n------------------------\n\n"); */ } else { for(int i=0;i<N;++i) { for(int j=0;j<N;++j) { //(i,j)位置可以摆放皇后,不冲突 if(Feasible(i,j)) { Board[i][j] = 1; //摆放皇后t Queen(t+1); //递归摆放皇后t+1 Board[i][j] = 0; //恢复 } } } }
} //返回num的阶乘,num!
int factorial(int num)
{ if(num==0 || num==1) return 1; return num*factorial(num-1);
} int main(int argc, char* argv[])
{ //初始化 for(int i=0;i<N;++i) { for(int j=0;j<N;++j) { Board[i][j]=0; } } way = 0; Queen(1); //从第1个皇后开始摆放 //如果每个皇后都不同 printf("考虑每个皇后都不同,摆放方法:%d\n",way);//N=8时, way=3709440 种 //如果每个皇后都一样,那么需要除以 N!出去重复的答案(因为相同,则每个皇后可任意调换位置) printf("考虑每个皇后都不同,摆放方法:%d\n",way/factorial(N));//N=8时, way=3709440/8! = 92种 return 0;
}
PS:该问题还有更优的解法。充分利用问题隐藏的约束条件:每个皇后必然在不同的行(列),每个行(列)必然也只有一个皇后。这样我们就可以把N个皇后放到N个行中,使用Pos[i]表示皇后i在i行中的位置(也就是列号)(i = 0 to N-1)。这样代码会大大的简洁,因为节点的子节点数目会减少,判断冲突也更简单。
4. :
References. :
- [ 1 ]. Coursera | Java程序设计 | PKU
- [ 2 ]. http://blog.csdn.net/yake827/article/details/52119469
- [ 3 ]. http://www.cnblogs.com/wuyuegb2312/p/3273337.html
- [ 4 ]. http://blog.csdn.net/jarvischu/article/details/16067319
- [ 5 ]. http://blog.csdn.net/jarvischu/article/details/6058931
- [ 6 ].
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