本文主要是介绍阶跃函数的导数为什么是冲击函数 The derivative of heaviside step function is delta function,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!
如果我今天没搞懂这个,我估计我会抑郁到不能睡觉。
heaviside step function 就是所谓的阶跃函数:
定义
图像:
dirac delta function 狄利克雷函数,通常所说的冲击函数:
定义:
函数图像:
提出问题:
为什么heaviside step 函数的导数就是 dirac delta 函数呢?
感觉上是挺“靠谱”。阶跃函数嘛,在0点左右两侧导数都是0,然后0点导数无穷大,和delta函数对应得很好。
数学不是所谓“靠谱”就能搞定的。要证明,当然。。。我个数学渣渣,证明完全不行,而且各种大牛都已经证明过了。
只是。。。证明过的我都差点没看懂。于是,留下这篇blog,叨叨这个“为什么”,以及这个证明过程中,
我遇到的困惑,和怎么解决的。
看看这段话吧,
If D is a distribution, we want to define another distribution D′ , its distributional derivative. This done by declaring D′ by (D′)(f)=−D(f′) ;
more generally, the n -th distributional derivative D(n) of D is defined by (D(n))(f)=(−1)n(f(n)) . This is ok, since we assumed the test functions f
to be infinitely differentiable; it follows that distributions are infinitely differentiable (in another, in this sense). Notice the minus sign. This is because
we want distributional derivatives to extend the ordinary derivative, notice that if d is differentiable, ∫Rd′(x)f(x)dx=−∫Rd(x)f′(x)dx since the
boundary term vanishes by the decay condition imposed on the test functions f .
看懂了也就知道为什么了,如果没看懂,那这篇blog还可以继续看下去。。。
我遇到的问题就是为什么
会有如此“操蛋”的事情捏。。。。。完全不符合分布积分的公式哇。。。(v*u)' = v'*u + v*u'
之后是各种苦恼。
Nothing to it.
注意这里是用了分布积分公式的!只是有一项被略去了,因为等于0!
H(x)是阶跃函数,那个希腊字母(x)是速降函数(不知道什么叫速降函数,其实就是指数函数,系数是负数)
这两个函数的乘积在正负无穷远处的值都是0,于是正无穷处的值减去负无穷处的值,0 - 0 = 0
于是就有 0
理所当然的就有了上面的积分等式
我们用一种简单的标记方式来表示 ----> <a , b'>
于是
∫ Rd′(x)f(x)dx=−∫Rd(x)f′(x)
b的导数就是狄利克雷函数,有木有!b是什么,阶跃函数!
阶跃函数的导数就是狄利克雷函数,证明完毕!
开心,睡觉
The . L
于 XTU 2014.03.13 凌晨
这篇关于阶跃函数的导数为什么是冲击函数 The derivative of heaviside step function is delta function的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助!