编程奇境:C++之旅,从新手村到ACM/OI算法竞赛大门(魔法帽:贪心思想)

本文主要是介绍编程奇境:C++之旅,从新手村到ACM/OI算法竞赛大门(魔法帽:贪心思想),希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

前面几期我们介绍了打怪的武器,但是刷怪的路上不能光凭蛮力,还要有智慧。需要有魔法帽的加持才能提升你的智慧点。

这期我们讲的是贪心思想。

什么是贪心呢?

贪心算法,就像是你肚子饿了,面对一桌子各式各样的美味点心,但妈妈说你只能拿一次,而且要尽可能地吃饱。怎么办呢?

你不会一个个去计算哪个组合能让你吃得最饱,那样太慢了。相反,你会用一个简单的方法:每次选择当前看起来最大的那个点心拿。比如,你先看到一个大蛋糕,就直接拿走,因为你知道蛋糕比小饼干能让你更快饱。就算之后你看到更大的点心,你也已经不能再换了,你只能做出在那一刻看起来最好的决定。

这就是贪心算法:在每个步骤中,都做出局部上最佳的选择,希望这样能带来全局上的最好结果。就像你每次都挑最大的点心,希望最后能吃得最饱。但是要注意,有时候这样不一定能得到全局最优解,比如如果后面有更大的点心你却已经拿了小的,就像生活中的一些决策,贪心策略可能让你错过一些更好的机会。但在某些特定问题里,贪心策略能高效地得到很好的解。

比如,你有不同面额的硬币要凑够一定的钱,贪心算法可能会让你每次都先用面额最大的硬币去凑,直到不够了再用次大的,这样往往能很快找到一个可行的凑钱方法,虽然不一定是所有可能中最少硬币的那个。

优点:

  1. 简单易懂:贪心算法的逻辑直接明了,容易理解和实现。就像小朋友做选择题时,每次选最明显的正确答案,一步步来。
  2. 运行效率高:因为它只关注当前的最佳选择,不需要考虑所有可能的解决方案,所以计算速度快,适合处理大量数据。
  3. 代码简洁:相较于其他复杂算法,贪心算法的代码通常更短,维护起来也更容易。
  4. 空间效率好:不需要存储大量中间结果,减少了对内存的需求。

缺点:

  1. 不一定得到最优解:虽然每一步都选最好的,但这些局部最优加在一起可能并不是全局最优。就像你选了每门课最喜欢的作业,但可能导致整个学期的成绩不是最好。
  2. 适用范围有限:不是所有问题都能用贪心算法解决,它最适合那些具有“贪心选择性质”的问题,即局部最优能导致全局最优的问题。
  3. 需要证明正确性:使用贪心算法前,往往需要严格证明这样做的每一步确实能导向最终的正确解,这有时很困难。
  4. 过早决定:一旦做出选择,就不可更改,可能导致错过了更好的解法,就像旅行时选了一条路,就不能回头尝试别的可能风景更美的路线。

总的来说,贪心算法在某些特定场景下非常有效,但必须小心应用,确保问题的特性允许局部最优解能导向全局最优解。

举个栗子

有 n 个人在一个水龙头前排队接水,假如每个人接水的时间为 Ti​,请编程找出这 n 个人排队的一种顺序,使得 n 个人的平均等待时间最小。

解析:

如果用暴力的思路:把每种组合都列一遍,看看哪种最小。这样的话时间太复杂了。

因为我们要让平均等待时间最小,相当于让总时间最小,我们观察到,总时间指的是前n-1个人接水的时间,因为第n个人接水的时候没有人等了。

那么是不是让接水最磨蹭的那个人排到最后去,这样大家就不用等太久了,这就是贪心,找到局部最优解。

所以我们对这n个人进行从小到大排序,时间越久的让ta越后面。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define endl '\n'
int n;
double a[1005];
double sum[1005];
double ans;
int main()
{cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>a[i];sum[i]=sum[i-1]+a[i-1];//记录前i-1个人接水需要的时间 这是第i个人要等的 }sort(a+1,a+n+1);for(int i=2;i<=n;i++){ans+=sum[i];}cout<<ans/(n-1)<<endl;return 0;
}

再举个例子

小 A 有 𝑛个糖果盒,第 𝑖个盒中有 𝑎𝑖颗糖果。

小 A 每次可以从其中一盒糖果中吃掉一颗,他想知道,要让任意两个相邻的盒子中糖的个数之和都不大于 𝑥,至少得吃掉几颗糖。

解析:

因为是相邻的盒子,所以我们尽量贪心地去取可能会重复判断的盒子,那么就是相邻的盒子中靠后的那个,比如ABC,AB 和 BC 都出现了B,所以吃B盒子的是最优解。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define endl '\n'
int n,x;
ll a[100005];
ll ans;
int main()
{cin>>n>>x;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>a[i];}for(int i=2;i<=n;i++){if(a[i-1]+a[i]>x){int temp=a[i-1]+a[i]-x;//超过的部分 ans+=temp;//吃掉的糖果数 if(a[i]<temp)//如果这个盒子里的糖果不够吃了 {a[i]=0;temp-=a[i];a[i-1]-=temp;//就再吃前面盒子的 }else{a[i]-=temp;//够吃就直接吃 }}}cout<<ans<<endl;return 0;
}

练习题: 

P1223 排队接水 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

 P3817 小A的糖果 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

P1803 凌乱的yyy / 线段覆盖 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

P5019 [NOIP2018 提高组] 铺设道路 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

P1094 [NOIP2007 普及组] 纪念品分组 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

Problem - 1974A - Codeforces

Problem - 1925A - Codeforces

总结

贪心思想在算法竞赛中是一项非常非常重要的思想,它可以帮助我们大幅降低时间复杂度,甚至可能在O(1)的复杂度内就能解决问题,学会的方法嘛。。。就是多练!

百看不如一练,只有实践才是进步最快的方式,更要独立思考,如果想不出来了就看题解,会有眼前一亮的感觉。好啦,今天就到这里吧。下一期再见,记得给专栏点个关注,明天接着来哦~

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