本文主要是介绍算法导论 9.1-1 求第二小元素 （这篇文章写的很好转来学习），希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！
原文链接：http://blog.csdn.net/mishifangxiangdefeng
一、题目
证明：在最坏情况下，利用n+ceil(lgn)-2次比较，即可得到n个元素中的第2小元素。（提示：同时找最小元素）
二、算法过程
step1：对所有元素，两个一组比较大小，小的一个进入下一轮比较。一直到比较出最小的元素。此时所有比较结果构成一棵二叉树。比较次数为n-1。
step2：沿着树从树根向下到叶子，找出第二小的元素，比较次数是ceil[lgn]-1。令m2[p]表示以p为根的树中的第二小元素。对于当前处理结点为p，key[p] = min{key[left[p]], key[right[p]]}。假设key[p] = key[left[p]]，则m2[p] = min{m2[left[p]], key[right[p]]}
三、思考过程
1.根据提示，需要同时找最小元素，找最小元素的比较次数至少为n-1
2.在找次小元素时，尽量使用step1所产生的附加信息
3.次小值一定是在step1中与最小元素直接比较的过程中被淘汰的那些数
4.若“step1中与最小元素直接比较的过程中被淘汰的数”的个数为m，找次小值的比较次数为m-1
5.常规方法中，最坏情况下，m = n-1
6.调整算法，使最坏情况下m = ceil[lgn]
7.最终算法比较次数 = (n-1) + (m-1) = n + ceil[lgn] - 2
四、详细证明
1.找最小元素的比较次数至少为n-1
把每个元素看作是一个集合，这个集合有一个特殊的属性，即集合内的最小值。
初始状态下，每个元素是一个值，集合的最小值就是这个元素的值。
两个元素比较的过程，可以看作是两个元素分别所在的集合的merge过程，同时更新的集合的最小值属性。
最后剩下一个集合时该集合的最小值就是整个数组的最小值。
一定是两个在不同集合的元素之间才会发生比较，处于同一集合的元素是不需要比较的。
n个集合至少要经过n-1次merge才能成为一个集合。
2.次小值一定是在step1中与最小元素直接比较的过程中被淘汰的那些数
参与比较的值，一定是集合中最小的值。
没有参与比较的值，有两种情况：
（1）若这个集合的最小值不是整个数组的最小值
那么这个值一定不是次小值，因此不用考虑
（2）若这个集合的最小值是整个数组的最小值，za
那么这个值有可能是次小值，但它也一定是在更早的某个比较过程中合并进来的，因此继续向前追溯。
3.常规方法中，最坏情况下，m = n-1
这个的常规方法是指
用如图来表示这种算法产生最小值的比较过程。
4.调整算法，使最坏情况下m = ceil[lgn]
把上图转换为这样，可知m与叶子结点的深度有关，最坏情况下的m就是树的叶子结点的最大深度，也就是二叉树的高度。
把二叉树调整为完全二叉树，树的高度就是ceil[lgn]了
-----> 
五、代码说明
1.虽然推导过程使用了二叉树，但是在实际算法实现过程中使用的是数组（有点类似第六章堆的实现），以简化算法。
用数组的下标代替结点的地址，用数组下标的索引代替指针。
2.指针nextTarget：每一次比较后，有可能是最小元素的侯选值链表，以数组元素0为head，通过nextTarget串联起来
指针nextSecond：假设数组元素a是最小元素，记录每次与a直接比较过的元素，也就是a对应的次小值候选者链表，以a为head，通过nextSecond串联起来
3.比较过程做了封装，用于统计比较次数。
4.初始情况下，每个元素都在nextTarget链表中，每比较一次，nextTarget链接中少一个元素。
当nextTarget链表中只剩下一个元素时，选择以这个元素为head的nextSecond链表中的最大值，就是整个数组的次小值。
5.假设数据有个5元素，依次为1，2，3，4，5，主要过程如图：
实心箭头表示nextTarget
空心箭头表示nextSecond
这篇关于算法导论 9.1-1 求第二小元素 （这篇文章写的很好转来学习）的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！
