数学学习笔记1——二次函数中的数形结合

本文主要是介绍数学学习笔记1——二次函数中的数形结合，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

二次函数中的数形结合

一、解一元二次不等式

基本方法：配方。

$x^2-4x+3<0\to (x-2{)}^2<1\to |x-2|<1\to 1<x<3$

数形结合：$y=x^2-4x+3<0\to y=(x-1)(x-3)<0\to 1<x<3$

练习：

1. $2x^2-x-1\ge 0\to (2x+1)(x-1)\ge 0\to x\le -\frac{1}{2}\mathrm{or}x\ge 1$
2. $-x^2+x+1\ge 0\to \frac{1-\sqrt{5}}{2}\le x\le \frac{1+\sqrt{5}}{2}$
3. $3x^2-x+1<0\Delta =1-12<0\to$ 无解

二、数形结合判断根的范围 重点

前置知识

区间根定理：若连续¹函数 $f(x)$ 再区间 $[a,b]$ 的两端函数值异号，则 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 内必有根。

¹：不包括反比例函数等非连续函数。

三个事：

1. 特殊值
2. 对称轴
3. 判别式

练习：

1. $f(x)=x^2+x+a=0$ 的两根中一个大于 $3$，一个小于 $3$。
   $f(3)<0$ 足矣。
2. $f(x)=x^2+x+a=0$ 的两根都在 $(-1,3)$ 内。

• $f(-1)>0$
• $f(3)>0$
• $-1<$ 轴 $<3$
• $\Delta \ge 0$

三、例题

解不等式 $2x^2-3x-2>0$。
$2x^2-3x-2=(2x+1)(x-2)>0\to x<-\frac{1}{2}\mathrm{or}x>2$

解不等式 $-x^2-2x+3\ge 0$。
$-x^2-2x+3=(-x+1)(x+3)\ge 0\to -3\le x\le 1$

解不等式 $3x^2-x+2>0$。
$\Delta =-23<0\to x$ 为任意数

已知实数 $x,y$ 满足 $x^2+y^2+2x-3=0$，则 $2x^2+y^2$ 的最大值为________.
分析：消元。利用平方数求范围。
$\because y^2=3-x^2-2x\ge 0$
$\therefore -3\le x\le 1$
$\therefore 2x^2+y^2=2x^2+3-x^2-2x=x^2-2x+3=(x-1{)}^2+2$
$\therefore$ 在 $x=-3$ 时，$\max =18$

若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2+(m-5)x+m-2=0$ 有实根，且一根大于 $1$，另一根小于 $2$，则实数 $m$ 的取值范围为________________.
分析：数形结合后可得 $f(2)<0$，即可代入原函数求出 $m$ 的取值范围。

• $f(2)<0\to 4+2(m-5)+m-2=3m-8<0\to m<\frac{8}{3}$

$\therefore m<\frac{8}{3}$

若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-(2-a)x+5-a=0$ 有实根，且一根在区间 $(0,2)$ 内，另一根在区间 $4,6$ 内，则实数 $a$ 的取值范围为________________.
分析：数形结合后可得 $f(0)>0,f(2)<0,f(4)<0,f(6)>0$，即可代入原函数求出 $a$ 的取值范围。

• $f(0)>0\to 5-a>0\to a<5$
• $f(2)<0\to 4-2(2-a)+5-a=a+5<0\to a<-5$
• $f(4)<0\to 16-4(2-a)+5-a=3a+13<0\to a<-\frac{13}{3}$
• $f(6)>0\to 36-6(2-a)+5-a=5a+29>0\to a>-\frac{29}{5}$

$\therefore -\frac{29}{5}<a<-5$

若关于 $x$ 的一元二次方程 $a{x}^2-2x+1=0(a>0)$ 有实根，且一根在区间 $(1,3)$ 内，另一根小于 $1$，则实数 $a$ 的取值范围为________________.
分析：数形结合后可得 $f(1)<0,f(3)>0$，即可代入原函数求出 $a$ 的取值范围。

• $f(1)<0\to a-1<0\to a<1$
• $f(3)>0\to 9a-5>0\to a>\frac{5}{9}$

$\therefore \frac{5}{9}<a<1$

若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2+(m-5)x+m-2=0$ 有实根，且两根都小于 $-2$，则实数 $m$ 的取值范围为________________.
分析：数形结合后可得 $f(-2)>0,$ 轴 $<-2,\Delta \ge 0$，即可代入原函数求出 $m$ 的取值范围。

• $f(-2)>0\to 4-2(m-5)+m-2=12-m>0\to m<12$
• 轴 $<-2\to -\frac{m-5}{2}<-2\to m>9$
• $\Delta \ge 0\to (m-5{)}^2-4(m-2)=m^2-14m+33\ge 0\to m\le 3$ 或 $m\ge 11$

$\therefore 11\le m<12$

若关于 $x$ 的一元二次方程 $4x^2-2mx+n=0$ 有实根，且两根都在区间 $(0,1)$ 内，已知 $m,n$ 均为正整数，则 $m^2+n=$ ________________.
分析：数形结合后可得 $f(0)>0,f(1)>0,0<$ 轴 $<1,\Delta \ge 0$，代入原函数可求出 $m,n$ 的取值范围，最后分类讨论即可求出答案。

• $f(0)>0\to n>0$ 无用
• $f(1)>0\to 4-2m+n>0\to 4+n>2m$
• $0<$ 轴 $<1\to 0<\frac{2m}{8}<1\to 0<m<4$
• $\Delta \ge 0\to 4m^2-16n\ge 0\to m^2\ge 4n$

分类讨论：

$m$	$1$	$2$	$3$
$n$	$\times$	$1$	$\times$

则 $m^2+n=5$.

若关于 $x$ 的一元二次方程 $m{x}^2-(2m+1)x+5m+1=0$ 有实根，且在区间 $[\frac{3}{2},5]$ 内恰有一根，求实数 $m$ 的取值范围。
分析：因为不知道 $m$ 的正负，所以二次函数的开口朝向就不知道了，所以考虑分类讨论。

1. $f(\frac{3}{2})>0$ 且 $f(5)<0$

• $\frac{9}{4}-(3m+\frac{3}{2})+5m+1>0$
• $25m-(10m+5)+5m+1<0$
  $\therefore m>\frac{2}{17}$ 且 $m<\frac{1}{5}$

2. $f(\frac{3}{2})<0$ 且 $f(5)>0$

• $\frac{9}{4}m-(3m+\frac{3}{2})+5m+1<0$
• $25m-(10m+5)+5m+1>0$
  $\therefore m<\frac{2}{17}$ 且 $m>\frac{1}{5}$（舍）

3. $f(\frac{3}{2})=0$

• $\frac{9}{4}m-(3m+\frac{3}{2})+5m+1=0$
  $\therefore m=\frac{2}{17}$

4. $f(5)=0$

• $25m-(10m+5)+5m+1=0$
  $\therefore m-\frac{1}{5}$
  $\therefore \frac{1}{5}{x}^2-\frac{7}{5}x+2=0$
  $\therefore (x-2)(x-5)=0$
  $\therefore x=2$ 或 $5$（舍）

综上，$\frac{2}{17}\le x<\frac{1}{5}$

已知关于 $x$ 的方程 $4x^2-4x+m=0$ 在区间 $[-1,1]$ 内至少有一根，求 $m$ 的取值范围。
分析：分类讨论即可。

1. 两根在 $[-1,1]$ 内

• $f(-1)\ge 0\to m\ge -8$
• $f(1)\ge 0\to m\ge 0$
• $-1\le$ 轴 $\le 1\to$ 无用
• $\Delta \ge 0\to m\le 1$
  $\therefore 0\le m\le 1$

2. 一根在 $(-1,1)$ 内
   $f(-1)<0,f(1)>0$ 或 $f(-1)>0,f(1)<0$
   $m<-8,m>0$（舍） 或 $m>-8,m<0$
   $\therefore -8<m<0$
3. $f(-1)=0$
   m=-8
4. $f(1)=0$
   m=0

综上，$-8\le m\le 1$

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