杭电1575-Tr A（矩阵快速幂）

本文主要是介绍杭电1575-Tr A（矩阵快速幂），希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

Tr A

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Problem Description

A为一个方阵，则Tr A表示A的迹（就是主对角线上各项的和），现要求Tr(A^k)%9973。

Input

数据的第一行是一个T，表示有T组数据。
每组数据的第一行有n(2 <= n <= 10)和k(2 <= k < 10^9)两个数据。接下来有n行，每行有n个数据，每个数据的范围是[0,9]，表示方阵A的内容。

Output

对应每组数据，输出Tr(A^k)%9973。

Sample Input

Sample Output

  2
2686
这题是一道纯矩阵快速幂题！
下面我说明下矩阵快速幂的原理（网上搜的见谅）：
矩阵的快速幂是用来高效地计算矩阵的高次方的。将朴素的o（n）的时间复杂度，降到log（n）。
这里先对原理（主要运用了矩阵乘法的结合律）做下简单形象的介绍：
一般一个矩阵的n次方，我们会通过连乘n-1次来得到它的n次幂。
但做下简单的改进就能减少连乘的次数，方法如下：
把n个矩阵进行两两分组，比如：A*A*A*A*A*A  =>  (A*A)*(A*A)*(A*A)
这样变的好处是，你只需要计算一次A*A，然后将结果(A*A)连乘自己两次就能得到A^6，即(A*A)^3=A^6。算一下发现这次一共乘了3次，少于原来的5次。
其实大家还可以取A^3作为一个基本单位。原理都一样：利用矩阵乘法的结合律，来减少重复计算的次数。
以上都是取一个具体的数来作为最小单位的长度，这样做虽然能够改进效率，但缺陷也是很明显的，取个极限的例子（可能有点不恰当，但基本能说明问题），当n无穷大的时候，你现在所取的长度其实和1没什么区别。所以就需要我们找到一种与n增长速度”相适应“的”单位长度“，那这个长度到底怎么去取呢？？？这点是我们要思考的问题。
有了以上的知识，我们现在再来看看，到底怎么迅速地求得矩阵的N次幂。
既然要减少重复计算，那么就要充分利用现有的计算结果咯！~怎么充分利用计算结果呢？？？这里考虑二分的思想。。
大家首先要认识到这一点：任何一个整数N，都能用二进制来表示。。这点大家都应该知道，但其中的内涵真的很深很深（这点笔者感触很深，在文章的最后，我将谈谈我对的感想）！！
计算机处理的是离散的信息，都是以0,1来作为信号的处理的。可想而知二进制在计算机上起着举足轻重的地位。它能将模拟信号转化成数字信号，将原来连续的实际模型，用一个离散的算法模型来解决。  好了，扯得有点多了，不过相信这写对下面的讲解还是有用的。
回头看看矩阵的快速幂问题，我们是不是也能把它离散化呢？比如A^19  =>  （A^16）*（A^2）*（A^1），显然采取这样的方式计算时因子数将是log(n)级别的(原来的因子数是n)，不仅这样，因子间也是存在某种联系的，比如A^4能通过(A^2)*(A^2)得到，A^8又能通过(A^4)*(A^4)得到，这点也充分利用了现有的结果作为有利条件。下面举个例子进行说明：
现在要求A^156,而156(10)=10011100(2) 
也就有A^156=>(A^4)*(A^8)*(A^16)*(A^128)  考虑到因子间的联系，我们从二进制10011100中的最右端开始计算到最左端。细节就说到这，下面给核心代码：
核心代码我自己写的，不是网上搜的，而且加注了详细解释：
Matrix matrix_quick_power(matrix a,int k)//重点：矩阵快速幂
{int i;matrix b;memset(b.mat,0,sizeof(b.mat));//初始化for(i=1;i<=n;i++)//这里把b化为单位矩阵，这样如果是第一次乘的话就不会改变a的值b.mat[i][i]=1;while(k)//当k即幂的大小为0时退出循环{if(k&1)//当K为奇数，这里用二进制的“与符号”：&，等同于k%2!=0{b=matrix_mul(a,b);//如果是第一次就乘上单位矩阵不变，不是的话就成上幂的因子数k-=1;}else{a=matrix_mul(a,a);//幂的因子数k>>=1;}}return b;//因为最终k变为0时的前一次k一定为1所以返回b而不是a
}

废话不多说了

下面是这题的AC代码和注解：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
const int MAX=101;
int n;
using namespace std;
typedef struct Matrix
{int mat[MAX][MAX];//定义矩阵
}matrix;
matrix A,B;
Matrix matrix_mul(matrix a,matrix b)//矩阵乘法
{matrix c;memset(c.mat,0,sizeof(c.mat));int i,j,k;for(i=1;i<=n;i++){for(j=1;j<=n;j++){for(k=1;k<=n;k++){c.mat[i][j]+=a.mat[i][k]*b.mat[k][j];c.mat[i][j]%=9973;//每次加完要对9973取模}}}return c;
}
Matrix matrix_quick_power(matrix a,int k)//重点：矩阵快速幂
{int i;matrix b;memset(b.mat,0,sizeof(b.mat));//初始化for(i=1;i<=n;i++)//这里把b化为单位矩阵，这样如果是第一次乘的话就不会改变a的值b.mat[i][i]=1;while(k)//当k即幂的大小为0时退出循环{if(k&1)//当K为奇数，这里用二进制的“与符号”：&，等同于k%2!=0{b=matrix_mul(a,b);//如果是第一次就乘上单位矩阵不变，不是的话就成上幂的因子数k-=1;}else{a=matrix_mul(a,a);//幂的因子数k>>=1;}}return b;//因为最终k变为0时的前一次k一定为1所以返回b而不是a
}
int main()
{int i,j,sum,k,t;cin>>t;while(t--){cin>>n>>k;for(i=1;i<=n;i++){for(j=1;j<=n;j++){cin>>A.mat[i][j];A.mat[i][j]%=9973;//这里也要取模不然矩阵相乘时会溢出}}B=matrix_quick_power(A,k);sum=0;for(i=1;i<=n;i++){sum+=B.mat[i][i];sum%=9973;//同理取模}cout<<sum<<endl;}return 0;
}

这篇关于杭电1575-Tr A（矩阵快速幂）的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！