如何判断一个点是否在一个多边形内部（有向面积）

本文主要是介绍如何判断一个点是否在一个多边形内部（有向面积），希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

• 在多边性的存储中，每一个多边形都是由一系列连续的点组成，例如保存为数组Polygon[5]，表示这个多边形是由5个点组成，这5个点顺序地存储在了数组Polygon之中。就如同走路一般地划线，从数组的第一个点连到第五个点，多边行就构造出来了。

•       在图形编程中，坐标的利用是不可忽视的。在这里判断一个点是否在多边行内部（可以包括线上）就要利用到各个点的坐标关系。下面开始讨论具体的方法。

•       对任何事物的分析，我们应该遵守由简入繁的原则，这样才能提高条理性，少犯错误。我们先判断一个点是否在一个三角形内部。一个三角形在一个坐标系（譬如由A、B、C三点组成）中，我们可以通过计算它的有向面积来判断A、B、C三点在坐标系中的顺逆。当然，在此之前我们必须先订立一套计算面积的规则。比如，在笛卡尔坐标系中，我们利用：

•       S=((A.x-B.x)*(A.y+B.y)+(B.x-C.x)*(B.y+C.y)+(C.x-A.x)*(C.y+B.y))/2     ----------------------------------   <1>来计算三角形的有向面积。规则即是：从第一点开始，用前一点横坐标减后一点横坐标与两坐标之和的乘积求梯形面积，直到完成多边性的封闭，得到三角形的有向面积。此时，如果求出的值是正的（S>0），则得出A->B->C为逆时针，否则为顺时针。到这里，我们知道如何判断一个三角形的顺逆的方法。

•       对于凸多边形而言（以三角形ABC为例），假设存在一个点D，若这个点在三角形的内部，则以该点为起点，和原多边形的任意两个连续的且尊照多边形组成方向的点（如DAB、DBC、DCA）组成的三角形讲都是一个方向，如DAB和DBC都是顺时针方向。若这个点在三角形的外部，则会出现DAB、DBC、DCA三个三角形方向不一致的情形，即其中有一个不同于另外两个（如一个顺，两个逆）。到这里我们就知道了如何判断一个点在一个三角形内部的算法，总结一下就是通过判断该点同三角形连续两点组成三角形的顺逆性（归于面积的正负）来得到结果的。 

•       实际上，对于其他的凸多边性也可以用一样的方法，只是这个时候判断的三角形的数目增加了，不管怎么样，只要点在多边形内部他们的顺逆都是一样的。对于凹多边形而言，情况就要相对复杂一些了。此时，判断一个点是否在其内部的计算量会增加比较多。具体算法如下：此时三角形一个个的判断可能会失效，我们应当两个同时判断。即判断该点是否同时在多边形的连续两个三角形之中，相当于是求两个三角形的交集，直到完成多边形封闭。例如，判断P点是否在多边形ABCD之中，依次判断P是否在ABC-BCD、BCD-CDA、CDA-DAB、DAB-ABC各个成对三角形中，P在ABC-BCD中表示P在ABC-BCD的交集之中。这样就可以判断一个点是否在一个凹多边形内部了。

•       以上说的仅仅是简单多边形而已，在复杂多变形之中（如内洞、飞地等），还要通过多边形的拓扑运算来得到结果。另外，在凸边形中，还可以进行优化：可以以一个点为中心，分裂多边形为最少个数的三角形，从而得到改进。

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