$L(x) = (\frac{1}{2}x^HAx-b^Hx)^2, x\in C^{n \times 1}$是凸的

本文主要是介绍$L(x) = (\frac{1}{2}x^HAx-b^Hx)^2, x\in C^{n \times 1}$是凸的，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

$L(x)=(\frac{1}{2}{x}^{H}Ax-b^{H}x{)}^2,x\in C^{n\times 1}$是凸的

已知：

1. $L(x)=(\frac{1}{2}{x}^{H}Ax-b^{H}x{)}^2,x\in C^{n\times 1}$

2. A 是对称正定矩阵

3. $\frac{1}{2}{x}^{H}Ax-b^{H}x>0$​

求证：

L(x) 是凸的。

证明：

1. ${\nabla }_{x}L=2(\frac{1}{2}{x}^{H}Ax-b^{H}x)(Ax-b)$
2. ${\nabla }_{xx}L=2(\frac{1}{2}{x}^{H}Ax-b^{H}x)A+2(Ax-b)(Ax-b{)}^H$
3. 由已知3和2， $2(\frac{1}{2}{x}^{H}Ax-b^{H}x)A$是正定的
4. 设$\forall y\in C^{n\times 1}$，$y^H(Ax-b)(Ax-b{)}^{H}y=||(Ax-b{)}^{H}y|{|}_2^2\ge 0$，当y与Ax-b正交是取0，则$(Ax-b)(Ax-b{)}^H$半正定
5. 由证明3，4知${\nabla }_{xx}L\succ 0$，则L(x)是凸的。

这篇关于$L(x) = (\frac{1}{2}x^HAx-b^Hx)^2, x\in C^{n \times 1}$是凸的的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

---