本文主要是介绍KM算法的简单总结 二部图的最大权匹配，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！
我们都知道有最大匹配，但如果说要加上费用，也就是已知每两个匹配的价值，要求出最大价值的匹配。
这个可以用费用流，但KM算法的效率要远远比费用流好。
KM算法有点贪心的思想，是通过不断的放宽费用的流量来实现的，当发现找不到匹配时，就一点点地放宽。
至于最小权，我没有找到代码。但其实可以把权值取相反数，再求最大权也是一样的。
摘自 百度百科：
KM算法求的是完备匹配下的最大权匹配： 在一个二分图内，左顶点为X，右顶点为Y，现对于每组左右连接XiYj有权wij，求一种匹配使得所有wij的和最大。
该算法是通过给每个顶点一个标号（叫做顶标）来把求最大权匹配的问题转化为求完备匹配的问题的。设顶点Xi的顶标为A[ i ]，顶点Yj的顶标为B[ j ]，顶点Xi与Yj之间的边权为w[i,j]。在算法执行过程中的任一时刻，对于任一条边(i,j)，A[ i ]+B[j]>=w[i,j]始终成立。
KM算法的正确性基于以下定理：
若由二分图中所有满足A[ i ]+B[j]=w[i,j]的边(i,j)构成的子图（称做相等子图）有完备匹配，那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配。
首先解释下什么是完备匹配，所谓的完备匹配就是在二部图中，X点集中的所有点都有对应的匹配或者是
Y点集中所有的点都有对应的匹配，则称该匹配为完备匹配。
这个定理是显然的。因为对于二分图的任意一个匹配，如果它包含于相等子图，那么它的边权和等于所有顶点的顶标和；如果它有的边不包含于相等子图，那么它的边权和小于所有顶点的顶标和。所以相等子图的完备匹配一定是二分图的最大权匹配。
初始时为了使A[ i ]+B[j]>=w[i,j]恒成立，令A[ i ]为所有与顶点Xi关联的边的最大权，B[j]=0。如果当前的相等子图没有完备匹配，就按下面的方法修改顶标以使扩大相等子图，直到相等子图具有完备匹配为止。
我们求当前相等子图的完备匹配失败了，是因为对于某个X顶点，我们找不到一条从它出发的交错路。这时我们获得了一棵交错树，它的叶子结点全部是X顶点。现在我们把交错树中X顶点的顶标全都减小某个值d，Y顶点的顶标全都增加同一个值d，那么我们会发现：
1）两端都在交错树中的边(i,j)，A[ i ]+B[j]的值没有变化。也就是说，它原来属于相等子图，现在仍属于相等子图。
2）两端都不在交错树中的边(i,j)，A[ i ]和B[j]都没有变化。也就是说，它原来属于（或不属于）相等子图，现在仍属于（或不属于）相等子图。
3）X端不在交错树中，Y端在交错树中的边(i,j)，它的A[ i ]+B[j]的值有所增大。它原来不属于相等子图，现在仍不属于相等子图。
4）X端在交错树中，Y端不在交错树中的边(i,j)，它的A[ i ]+B[j]的值有所减小。也就说，它原来不属于相等子图，现在可能进入了相等子图，因而使相等子图得到了扩大。
现在的问题就是求d值了。为了使A[ i ]+B[j]>=w[i,j]始终成立，且至少有一条边进入相等子图，d应该等于：
Min{A[ i ]+B[j]-w[i,j] | Xi在交错树中，Yi不在交错树中}。
bool find(int x)
{visx[x]=true;for(int y=0;y<maxn; y++){if(visy[y])continue;int t=lx[x]+ly[y]-w[x][y];if(t==0){visy[y]=true;if(linky[y]==-1||find(linky[y])){linky[y]=x;return true;}}else if(lack>t)lack=t;}return false;
}
void KM()
{memset(linky,-1,sizeof(linky));for(int i=0;i<maxn; i++)for(int j=0;j<maxn; j++)if(w[i][j]>lx[i])lx[i]=w[i][j]; //初始化顶标for(int x=0;x<maxn; x++){for(;;){memset(visx,0,sizeof(visx));memset(visy,0,sizeof(visy));lack=INF;if(find(x))break;for(int i=0;i<maxn; i++){if(visx[i])lx[i]-=lack;if(visy[i])ly[i]+=lack;}}}
}
这篇关于KM算法的简单总结 二部图的最大权匹配的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！
