通过Matlab实现Hermite基函数进行信号拟合,可应用于信号降噪

2024-05-06 18:28

本文主要是介绍通过Matlab实现Hermite基函数进行信号拟合,可应用于信号降噪,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

利用Hermite基函数的Hermite近似,在不牺牲精度的情况下,实现对时序信号的降噪,文中图片以心电信号QRS波群滤除高频干扰为例。

1.知识背景

        Hermite正交多项式是一类重要的正交多项式,它们起源于数学中的Hermite函数和特殊函数理论,它们在物理学、工程学和数学中都有广泛的应用。

        Hermite正交多项式满足一组特殊的正交性质,即在一定的权函数下,它们彼此正交。在通常的情况下,这个权函数是e^(-x^2),即高斯权函数。这种正交性质使得Hermite多项式在傅立叶变换、量子力学、概率论等领域有着重要的应用。

        Hermite正交多项式的一大特点是其递归关系。设Hn(x)表示Hermite多项式的第n阶多项式,则有如下递归关系:

H_n(x) = 2xH_{n-1}(x)-2(n-1)H_{n-2}(x)

        Hermite正交多项式是通过递归关系定义的,下面是前六个Hermite正交多项式的表达式:

1. ~H_0(x)=1\\ 2. ~H_1(x)=2x\\ 3. ~ H_2(x)=4x^2-2 \\ 4. ~H_3(x)=8x^3-12x\\ 5. ~ H_4(x)=16x^4-48x^2+12\\ 6. ~H_5(x)=35x^5-160x^3+120x

        Hermite基函数是以Hermite多项式为基础构建的一组函数集合,通常用于函数逼近和信号处理等领域,Hermite基函数的形式如下:

\Phi _n(t,\sigma ) = \frac{1}{\sqrt{\sigma 2^nn!\sqrt{\pi}}}e^{-\frac{t^2}{2\sigma ^2}}H_n(t/\sigma )

其中,\Phi _n​表示第n个Hermite基函数,H_n是对应的第n个Hermite多项式。Hermite基函数的特点是它们在实数轴上有限且彼此正交,因此在信号处理领域常用于构建正交基函数系列,用于信号分解滤波和重建等任务。

        σ为30时,Hermite基函数\Phi _n图像如下所示(本文取前六个基函数对信号进行降噪):

2.最终拟合

        通过Hermite基函数对信号进行拟合实现降噪,拟合公式如下:

 \hat{x}(t) = \sum_{n=0}^{N-1}c_n(\sigma)\Phi _n(t,\sigma )

其中,\hat{x}(t)表示拟合后的信号,c_n(\sigma)表示Hermite基函数的系数权重,不同的σ对应不同的权重,对于给定的σ,系数c_n(\sigma)计算公式如下:

c_n(\sigma)=\sum_{t}^{}x(t)\Phi _n(t,\sigma )

        最佳权重c_n(\sigma)的选择根据均方误差(Mean Squared Error,MSE)的最小值进行选取,MSE公式如下:

MSE=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(\hat{x}_i-x_i)^2

其中x_i表示拟合前的信号。

拟合效果如下图所示:

3.应用

该方法可应用于心电信号QRS波群滤除高频干扰,同理可应用于其他时序信号的滤波。

如需代码,请加下方微信:

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