NYOJ119士兵杀敌（三）RMQ问题之ST…

本文主要是介绍NYOJ119士兵杀敌（三）RMQ问题之ST…，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

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题目大意：求一段区间内的最大值和最小值的差值，查询次数非常大。

第一次接触RMQ类型的题目，在百度百科科普了一下。 RMQ问题

RMQ (Range Minimum/MaximumQuery)问题是指：对于长度为n的数列A，回答若干询问RMQ(A,i,j)(i,j<=n)，返回数列A中下标在i,j里的最小(大）值，也就是说，RMQ问题是指求区间最值的问题。

ST算法：

首先是预处理，用一个DP解决。设a是要求区间最值的数列，f[i,j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。例如数列32 4 5 6 8 1 2 9 7,f[1,0]表示第1个数起，长度为2^0=1的最大值，其实就是3这个数。f[1,2]=5，f[1,3]=8，f[2,0]=2，f[2,1]=4……从这里可以看出f[i,0]其实就等于a[i]。这样，DP的状态、初值都已经有了，剩下的就是状态转移方程。我们把f[i,j]（j≥1）平均分成两段（因为j≥1时，f[i,j]一定是偶数个数字），从i到i+2^(j-1)-1为一段，i+2^(j-1)到i+2^j-1为一段（长度都为2^（j-1））。用上例说明，当i=1，j=3时就是3,2,4,5和6,8,1,2这两段。f就是这两段的最大值中的最大值。于是我们得到了动规方程F[i,j]=max(F[i,j-1],F[i+2^(j-1),j-1])。

接下来是得出最值，也许你想不到计算出f有什么用处，一般要想计算max还是要O(logn)，甚至O(n)。但有一个很好的办法，做到了O(1)。还是分开来。如在上例中我们要求区间[2,8]的最大值，就要把它分成[2,5]和[5,8]两个区间，因为这两个区间的最大值我们可以直接由f[2,2]和f[5,2]得到。扩展到一般情况，就是把区间[l,r]分成两个长度为2^n的区间（保证有f对应）。直接给出表达式：

k:=trunc(ln(r-l+1)/ln(2));

ans:=max(F[l,k],F[r-2^k+1,k]);

这样就计算了从l开始，长度为2^k的区间和从r-2^k+1开始长度为2^k的区间的最大值（表达式比较繁琐，细节问题如加1减1需要仔细考虑），二者中的较大者就是整个区间[l,r]上的最大值。

其实我个人觉得这个和树状数组十分的相似，树状数组是将数组的和预处理用二叉树存储，这个事将数组区间的最值用二维数组储存罢了。

解题代码：（百度百科的写的非常的经典，就稍微改了一点，直接过了）

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define MN 100008
using namespace std;
int mi[MN][17],mx[MN][17],w[MN];
int n,q;
int max(int a,int b){return a>b?a:b;
}
int min(int a,int b){return a>b?a:b;
}
void rmqinit()//初始化数组
{int i,j,m;for(i=1;i<=n;i++){mi[i][0]=mx[i][0]=w[i];}m=(int) floor(log2((double)n));for(i=1;i<=m;i++){for(j=n;j>=1;j--){mx[j][i]=mx[j][i-1];if(j+(1<<(i-1))<=n)mx[j][i]=max(mx[j][i],mx[j+(1<<(i-1))][i-1]);mi[j][i]=mi[j][i-1];if(j+(1<<(i-1)<=n))mi[j][i]=min(mi[j][i],mi[j+(1<<(i-1))][i-1]);}}
}
int rmqmin(int l,int r)//l,r区间的最小值
{int m=(int)floor(log2(double(r-l+1)));returnmin(mi[l][m],mi[r-(1<<m)+1][m]);
}int rmqmax(int l,int r)
{intm=(int)floor(log2(double(r-l+1)));returnmax(mx[l][m],mx[r-(1<<m)+1][m]);
}int main()
{scanf("%d%d",&n,&q);for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&w[i]);rmqinit();int l,r;for(int i=1;i<=q;i++){scanf("%d%d",&l,&r);printf("%d\n",rmqmax(l,r)-rmqmin(l,r));}return 0;
}