加权图的单源最短路径问题——解法：DijKstra算法

本文主要是介绍加权图的单源最短路径问题——解法：DijKstra算法，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

问题都是老生常谈，不再介绍，此处给出算法思想（自己总结的，别人写好的）、以及代码实现。

1、自己总结算法思想

记新加入顶点的集合为S，余下顶点的集合为V-S.

         i、取一个起始顶点，加入S中。

         ii、从V-S集合中，寻找出最短路径距离信息的结点，加入S集合中。

         iii、对新加入S中的顶点，更新新加入顶点到V-S中邻接顶点的路径距离信息，若无相应路径则转步骤3（只有当路径信息变小时才更新哈，并记录此时已更新路径信息结点的前驱结点（方便输出呢），与prim算法区别的是，此处是对新加入的结点，更新的是路径距离信息（即所谓从源点到新加入结点的邻接结点的路径权值之和））。

         iv、重复2、3步骤，直至S集合中顶点个数为图中所有顶点个数。

2、借鉴他人总结的算法思想

 

       与Floyd-Warshall算法一样这里仍然使用二维数组e来存储顶点之间边的关系，初始值如下。

 

       我们还需要用一个一维数组dis来存储1号顶点到其余各个顶点的初始路程，如下。

 

       我们将此时dis数组中的值称为最短路的“估计值”。

       既然是求1号顶点到其余各个顶点的最短路程，那就先找一个离1号顶点最近的顶点。通过数组dis可知当前离1号顶点最近是2号顶点。当选择了2号顶点后，dis[2]的值就已经从“估计值”变为了“确定值”，即1号顶点到2号顶点的最短路程就是当前dis[2]值。为什么呢？你想啊，目前离1号顶点最近的是2号顶点，并且这个图所有的边都是正数，那么肯定不可能通过第三个顶点中转，使得1号顶点到2号顶点的路程进一步缩短了。因为1号顶点到其它顶点的路程肯定没有1号到2号顶点短，对吧O(∩_∩)O~

       既然选了2号顶点，接下来再来看2号顶点有哪些出边呢。有2->3和2->4这两条边。先讨论通过2->3这条边能否让1号顶点到3号顶点的路程变短。也就是说现在来比较dis[3]和dis[2]+e[2][3]的大小。其中dis[3]表示1号顶点到3号顶点的路程。dis[2]+e[2][3]中dis[2]表示1号顶点到2号顶点的路程，e[2][3]表示2->3这条边。所以dis[2]+e[2][3]就表示从1号顶点先到2号顶点，再通过2->3这条边，到达3号顶点的路程。

       我们发现dis[3]=12，dis[2]+e[2][3]=1+9=10，dis[3]>dis[2]+e[2][3]，因此dis[3]要更新为10。这个过程有个专业术语叫做“松弛”。即1号顶点到3号顶点的路程即dis[3]，通过2->3这条边松弛成功。这便是Dijkstra算法的主要思想：通过“边”来松弛1号顶点到其余各个顶点的路程。

 

       同理通过2->4（e[2][4]），可以将dis[4]的值从∞松弛为4（dis[4]初始为∞，dis[2]+e[2][4]=1+3=4，dis[4]>dis[2]+e[2][4]，因此dis[4]要更新为4）。

       刚才我们对2号顶点所有的出边进行了松弛。松弛完毕之后dis数组为：

 

       接下来，继续在剩下的3、4、5和6号顶点中，选出离1号顶点最近的顶点。通过上面更新过dis数组，当前离1号顶点最近是4号顶点。此时，dis[4]的值已经从“估计值”变为了“确定值”。下面继续对4号顶点的所有出边（4->3，4->5和4->6）用刚才的方法进行松弛。松弛完毕之后dis数组为：

 

       继续在剩下的3、5和6号顶点中，选出离1号顶点最近的顶点，这次选择3号顶点。此时，dis[3]的值已经从“估计值”变为了“确定值”。对3号顶点的所有出边（3->5）进行松弛。松弛完毕之后dis数组为：

 

       继续在剩下的5和6号顶点中，选出离1号顶点最近的顶点，这次选择5号顶点。此时，dis[5]的值已经从“估计值”变为了“确定值”。对5号顶点的所有出边（5->4）进行松弛。松弛完毕之后dis数组为：

 

       最后对6号顶点所有点出边进行松弛。因为这个例子中6号顶点没有出边，因此不用处理。到此，dis数组中所有的值都已经从“估计值”变为了“确定值”。

       最终dis数组如下，这便是1号顶点到其余各个顶点的最短路径。

 

       OK，现在来总结一下刚才的算法。算法的基本思想是：每次找到离源点（上面例子的源点就是1号顶点）最近的一个顶点，然后以该顶点为中心进行扩展，最终得到源点到其余所有点的最短路径。基本步骤如下：

• 将所有的顶点分为两部分：已知最短路程的顶点集合P和未知最短路径的顶点集合Q。最开始，已知最短路径的顶点集合P中只有源点一个顶点。我们这里用一个book[ i ]数组来记录哪些点在集合P中。例如对于某个顶点i，如果book[ i ]为1则表示这个顶点在集合P中，如果book[ i ]为0则表示这个顶点在集合Q中。

• 设置源点s到自己的最短路径为0即dis=0。若存在源点有能直接到达的顶点i，则把dis[ i ]设为e[s][ i ]。同时把所有其它（源点不能直接到达的）顶点的最短路径为设为∞。

• 在集合Q的所有顶点中选择一个离源点s最近的顶点u（即dis[u]最小）加入到集合P。并考察所有以点u为起点的边，对每一条边进行松弛操作。例如存在一条从u到v的边，那么可以通过将边u->v添加到尾部来拓展一条从s到v的路径，这条路径的长度是dis[u]+e[u][v]。如果这个值比目前已知的dis[v]的值要小，我们可以用新值来替代当前dis[v]中的值。

• 重复第3步，如果集合Q为空，算法结束。最终dis数组中的值就是源点到所有顶点的最短路径。

3、代码实现（此处运用邻接矩阵存储图的信息）

#include<iostream>
#include<string.h>using namespace std;#define MAX 6      // point数量
#define INF_distance 0xFFFFFFFF/*
* Dijkstra最短路径。
* 即，统计图中"顶点"到其它各个顶点的最短路径。
*
* 参数说明：
*     adjMatrix      -- 邻接矩阵
*     startPoint     -- 起始顶点(start vertex)。即计算"顶点startPoint"到其它顶点的最短路径。
*     prePoint       -- 前驱顶点数组。prePoint[i]的值是"顶点startPoint"到"顶点i"的最短路径所经历的全部顶点中，位于"顶点i"之前的那个顶点。
*     dist           -- 长度数组。dist[i]是"顶点startPoint"到"顶点i"的最短路径的长度。
*/void dijkstra(unsigned int adjMatrix[][MAX], int startPoint, unsigned int prePoint[], unsigned int dist[]) {int i, k;unsigned int temp, min;bool flag[MAX]; flag[i]=1表示"顶点startPoint"到"顶点i"的最短路径已成功获取。for (i = 0; i < MAX; ++i) {flag[i] = false;prePoint[i] = 0;dist[i] = adjMatrix[startPoint][i];}//对超始点自身进行初始化flag[startPoint] = true;prePoint[startPoint] = 0;k = startPoint;//遍历，每次找出到一个顶点的最短距离for (i = 0; i < MAX; ++i) {min = INF_distance;for (int j = 0; j < MAX; ++j) {//寻找具有最短距离的结点if (!flag[j]&&dist[j] < min) { //不在S中，从startPoint到V-S结点集中距离最短的min = dist[j];k = j;}}flag[k] = true;//表明此结点已遍历,放入S集中for (int j = 0; j < MAX;++j) {//更新k的邻接点距离temp = adjMatrix[k][j] == INF_distance ? INF_distance : (adjMatrix[k][j] + min);//主要是为了计算出startPoint到k结点相邻结点的距离if (!flag[j] && temp < dist[j]) {dist[j] = temp;prePoint[j] = k;//记录前驱结点是为了方便输出信息}}}}void print(unsigned int prePoint[], unsigned int dist[], int startPoint, int endPoint) {if (endPoint == startPoint) {cout << startPoint << "," << dist[endPoint] << endl;return;}if (endPoint != startPoint) {print(prePoint, dist, startPoint, prePoint[endPoint]);cout << endPoint << "," << dist[endPoint] << endl;}
}int main() {unsigned int prePoint[MAX];unsigned int dest[MAX];unsigned int adjMatrix[MAX][MAX] = { { 0, 1, 12, INF_distance, INF_distance, INF_distance },{ INF_distance, 0, 9, 3, INF_distance, INF_distance },{ INF_distance, INF_distance, 0, INF_distance, 5, INF_distance },{ INF_distance, INF_distance, 4, 0, 13, 15 },{ INF_distance, INF_distance, INF_distance, INF_distance, 0, 4 },{ INF_distance, INF_distance, INF_distance, INF_distance, INF_distance, 0 } };memset(prePoint, 0, sizeof(prePoint));memset(dest, 0, sizeof(dest));dijkstra(adjMatrix, 0, prePoint, dest);print(prePoint, dest, 0, 5);cout << MAX - 1 << "," << dest[MAX - 1] << endl;return 0;
}

参考链接：

https://blog.csdn.net/heroacool/article/details/51014824

https://www.cnblogs.com/GnibChen/p/8875247.html

这篇关于加权图的单源最短路径问题——解法：DijKstra算法的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

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