数理逻辑学习笔记[2] #20210708

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命题逻辑：语法

公理间的关系

0. Q:
   (L1)$\mathcal{A}\to (\mathcal{B}\to \mathcal{A})$
   (L2)$(\mathcal{A}\to (\mathcal{B}\to \mathcal{C}))\to ((\mathcal{A}\to \mathcal{B})\to (\mathcal{A}\to \mathcal{C}))$
   (L3)$(\sim \mathcal{A}\to \sim \mathcal{B})\to (\mathcal{B}\to \mathcal{A})$
   (L4)$(\sim \mathcal{A}\to \sim \mathcal{B})\to ((\sim \mathcal{A}\to \mathcal{B})\to \mathcal{A})$
   我们想证明(L1)(L2)(L3)构成的公理系统和(L1)(L2)(L4)组成的公理系统等价。（注：前者称为Łukasiewicz’s Third axiom system. 后者称为Mendelson’s axiom system.）
   由(L1)(L2)(L3)证明(L4). 由演绎定理我们知道只需证明已知（）时能推出$\mathcal{A}$，而这只需（）。
   A:
   L1,L2,L3,$\sim \mathcal{A}\to \sim \mathcal{B}$,$\sim \mathcal{A}\to \mathcal{B}$
   已知以上条件时，显然$\sim \mathcal{A}⊢\sim \mathcal{B}$且$\sim \mathcal{A}⊢\mathcal{B}$. 再回忆：已知L1,L2,L3时有$\mathcal{B},\sim \mathcal{B}⊢\mathcal{A}$，就立刻知道已知L1,L2,L3,$\sim \mathcal{A}\to \sim \mathcal{B}$,$\sim \mathcal{A}\to \mathcal{B},\sim \mathcal{A}$时可推出$\mathcal{A}$. 最后回忆$\sim \mathcal{A}\to \mathcal{A}⊢\mathcal{A}$即可。
1. Q: 接上，如何证明另一方向？
   A: 只需要证明已知L1,L2,L4,$\sim \mathcal{A}\to \sim \mathcal{B},\mathcal{B}$时能推出$\mathcal{A}$. 而这只需注意$\mathcal{B}\to (\sim \mathcal{A}\to \mathcal{B})$即可。
2. Q: 为了证明公理（模式）L1,L2,L3每一条都是独立的，我们的思路是构造某种性质，使得一切L2,L3通过替换得到的公式都（），且若$\mathcal{A},\mathcal{A}\to \mathcal{B}$都具有该性质，则（）。但（）不具有该性质。这就可以说明通过公理模式（）和推理规则（）一定无法得到L1.
   A: 具有该性质，$\mathcal{B}$具有该性质，L1替换的公式，L2,L3，MP.
3. Q: 接上，$\sim$作为一元运算符，对于二值逻辑可能有（）种具体的含义。$\to$作为二元运算符，对于二值逻辑可能有（）种具体的含义。如果针对每个公式指派真值0或1，且之前2.中所述“某种性质”指真值为1，那么在二值逻辑的框架内是否可能为$\sim ,\to$指定某种具体的含义（即某个具体的真值表或布尔函数），用2.的方法作出L1独立性的证明？为什么？
   A: 4，16.
   回忆：形式系统中的运算符的含义是未事先指定的。我们可以给$\sim ,\to$指定任何满足公理模式和推理规则的真值表。
   以下用等号表达真值表的取值。例如$\sim 1=a$表示真值表中对1做$\sim$运算得到$a$，$a$是0或1. 我们希望L2,L3替换的公式都为1，且MP规则能保持1. 但是L1替换的公式不一定为1.
   设$\sim 1=a,\sim 0=b,1\to 1=c,1\to 0=d,0\to 1=e,0\to 0=f$，则首先$d=0$，否则当$\mathcal{A}$和$\mathcal{A}\to \mathcal{B}$都为1时，不能推出$\mathcal{B}$为1.
   此时若$c=0$，则对任意指派了1的公式$\mathcal{A}$，有$\mathcal{A}\to \mathcal{B}$为0. 所以为了L3成立，L3的前件必须恒为0，则必须有对任意$\mathcal{A},\mathcal{B}$的指派都有$\mathcal{A}\to \mathcal{B}$为0，这又和L3成立矛盾了。故$c=1$.
   注意c,d,e,f不全相等（有0也有1），故若$a=b$，则L3相当于$a\to 0$和$a\to 1$都为1，这说明$a=b=0,e=f=1$，这时L1恒成立，故这样的真值表不能用来作独立性证明。故$a$

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