协方差和协相关(Covariance and Correlation)

本文主要是介绍协方差和协相关(Covariance and Correlation)，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

本文主要是记录与这两个概念相关的概念。看中文或者英文时，尝尝容易弄混。

对于两个随机信号X, Y

1 covariance和correleation

covariance:
$$co{v}_{XY}={\sigma }_{XY}=E\left[\left(X-{\mu }_X\right)\left(Y-{\mu }_Y\right)\right]$$

correlation:
$$cor{r}_{XY}={\rho }_{XY}=E\left[\left(X-{\mu }_X\right)\left(Y-{\mu }_Y\right)\right]/\left({\sigma }_X{\sigma }_Y\right)$$

因此
$${\rho }_{XY}={\sigma }_{XY}/\left({\sigma }_X{\sigma }_Y\right)$$

如果Y=X，那么${\sigma }_{XY}={\sigma }_{XX}=({\sigma }_X{)}^2$, ${\rho }_{XY}=1$

2 covariance matrix和correlation matrix

这个是对于多维随机变量来说的，也就是$X=[X_1,X_2,...,X_m]$, $Y=[Y_1,Y_2,...,Y_n]$，那么
$$\begin{gathered} co{v}_{XY}={\left[co{v}_{X_i{Y}_j}\right]}_{\left(m,n\right)} \\ cor{r}_{XY}={\left[cor{r}_{X_i{Y}_j}\right]}_{\left(m,n\right)} \end{gathered}$$

3 cross-covariance和cross-correlation

这是对于平稳随机信号来说的，也就是信号的平均值和方差随时间是不变的
$E(X_n)=E(x_{n+m})$, $Var(X_n)=Var(X_{n+m})$

cross-covariance
$${\sigma }_{XY}(m)=E\left[\left(X_n-{\mu }_X\right)\left(Y_{n+m}-{\mu }_Y\right)\right]$$

cross-correlation
$${\rho }_{XY}(m)=E\left[\left(X_n-{\mu }_X\right)\left(Y_{n+m}-{\mu }_Y\right)\right]/\left({\sigma }_X{\sigma }_Y\right)$$

cross-covariance, cross-correlation与n的位置无关，只与时刻之间的间隔m有关

4 autocovariance和autocorrelation

autocovariance
$${\sigma }_{XX}\left(m\right)=E\left[\left(X_n-{\mu }_X\right)\left(X_{n+m}-{\mu }_X\right)\right]$$
autocorrelation
$${\rho }_{XX}\left(m\right)=E\left[\left(X_n-{\mu }_X\right)\left(X_{n+m}-{\mu }_X\right)\right]/\left({\sigma }_X^2\right)$$

这篇关于协方差和协相关(Covariance and Correlation)的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

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