2020牛客多校第五场 Graph（异或最小生成树）

本文主要是介绍2020牛客多校第五场 Graph（异或最小生成树），希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/5670/B
来源：牛客网

题目描述
Mr. W got a new graph with N vertices and N - 1 edges. It’s a connected graph without cycles. Each edge should have an ugly value. To make the graph more beautiful, Mr. W hope you can help him modify it. You can delete or add one edge with an ugly value at a time and you can do it as many times as you want. But the following conditions should be satisfied at any time:

The graph is connected.
For each cycles in the graph, the XOR sum of all ugly values in the cycle is 0.
Mr. W wants to know the minimum sum of ugly values of all edges in the graph.
输入描述:
The first line contains one integerN(2 \leq N \leq 100000)N(2≤N≤100000).
Next N - 1 lines each contains three integers U, V, W (0 \leq U,V < N, 0 \leq W < 2^{30})U,V,W(0≤U,V<N,0≤W<2
30
), denoting an edge between vertex U and V with ugly value W.
输出描述:
One integer, the minimum sum of ugly values of all edges in the graph.
示例1
输入
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6
0 1 1
1 2 4
1 3 3
0 4 5
0 5 2
输出
复制
7

题意：
给一张树，可以加边或者删边，但要满足环上边的权值异或为0，且图连通。求最后得到的最小边权和。

思路：
就是CF888G的变形，改一下就能过了。

模拟一下可以发现，不管怎么加边和删边，两个点的的路径异或值不变，也就是两点加边的值不变。只需要记录根节点到每个节点的路径异或值，就可以得到任意两点连边对应权值。

于是题目就变形成了每个点有一个权值，两点连边的边权为权值异或，求这个完全图的最小生成树。

而对于异或最小生成树，
这是一张完全图，当然是不能用kruskal或者prim。
但是最小生成树除了这两个算法，还有一个叫做boruvka的算法，大致思路是维护每个连通块连出的最短边，然后每个连通块择优，选上最短边。

用在本题上，我们可以建立01字典树，那么每次对于连出的0出边和1出边，各有一个连通块，要连通这两个连通块，则需要从左子树（右子树）中枚举一个点，然后再利用01字典树的性质，得到在另一半对应的最小值。

因为对于两个点异或值，肯定是高位相等的越多，值越小，所以从01字典树最高位往下走是符合boruvka算法的

对于每个分出两个子树的点都这样处理，这类似分治的过程，复杂度肯定是够的。

#include<iostream>
#include<vector>
#include<map>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>using namespace std;typedef long long ll;const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 2e5 + 7;
int L[maxn * 40],R[maxn * 40];
int ch[maxn * 40][2],tot;
int n,root;
int a[maxn];void Insert(int &now,int x,int dep) {if(!now) now = ++tot;L[now] = min(L[now],x);R[now] = max(R[now],x);if(dep < 0) return;int bit = a[x] >> dep & 1;Insert(ch[now][bit],x,dep - 1);
}ll query(int now,int val,int dep) {if(dep < 0) return 0;int bit = (val >> dep) & 1;if(ch[now][bit]) return query(ch[now][bit],val,dep - 1);return query(ch[now][bit ^ 1],val,dep - 1) + (1 << dep);
}ll dfs(int now,int dep) {if(dep < 0) return 0;if(R[ch[now][0]] && R[ch[now][1]]) {ll mi = INF;for(int i = L[ch[now][0]];i <= R[ch[now][0]];i++) {mi = min(mi,query(ch[now][1],a[i],dep - 1));}return dfs(ch[now][0],dep - 1) + mi + dfs(ch[now][1],dep - 1) + (1 << dep);}if(R[ch[now][0]]) return dfs(ch[now][0],dep - 1);if(R[ch[now][1]]) return dfs(ch[now][1],dep - 1);return 0;
}void solve() {sort(a + 1,a + 1 + n);memset(L,0x3f,sizeof(L));for(int i = 1;i <= n;i++) Insert(root, i, 30);printf("%lld\n",dfs(root,30));
}int head[maxn],nex[maxn],to[maxn],val[maxn],TOT;void add(int x,int y,int z) {to[++TOT] = y;nex[TOT] = head[x];val[TOT] = z;head[x] = TOT;
}void DFS(int x,int fa,ll sum) {a[x] = sum;for(int i = head[x];i;i = nex[i]) {int v = to[i],w = val[i];if(v == fa) continue;DFS(v,x,sum ^ w);}
}int main()
{scanf("%d",&n);for(int i = 1;i < n;i++) {int x,y,z;scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);x++;y++;add(x,y,z);add(y,x,z);}DFS(1,-1,0);solve();return 0;
}