电动力学的数学准备 02 柱函数

本文主要是介绍电动力学的数学准备 02 柱函数，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

内容

• Bessel 函数
• 特殊的 Bessel 函数
• 球 Bessel 函数

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Bessel 函数

Bessel 方程的引入

在柱坐标系 $(r,\theta ,z)$ 下 Helmholtz 方程 $({\nabla }^2+k^2)u=0$ 写为

$$\left[\frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(r\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{\theta }^2}+\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{z}^2}+k^2\right]u(r,\theta ,z)=0$$

分离变量 $u(r,\theta ,z)=R(r)\Theta (\theta )Z(z)$ 就得到

$$\{\begin{array}{l}\frac{{\mathrm{d}}^{2}Z(z)}{\mathrm{d}{z}^2}+\lambda Z(z)=0\\ \frac{{\mathrm{d}}^2\Theta (\theta )}{\mathrm{d}{\theta }^2}+\mu \Theta (\theta )=0\\ \frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(r\frac{\mathrm{d}R(r)}{\mathrm{d}r}\right)+\left(k^2-\lambda -\frac{\mu }{r^2}\right)R(r)=0\end{array}$$

其中 $\lambda ,\mu$ 是分离变量产生的参数，记 $\mu ={\nu }^2$ 。前两个方程容易求解，第三个方程在 $k^2-\lambda =0$ 时也容易解出 $R(r)=A{r}^{\nu }+B{r}^{-\nu }$ 。
如果 $k^2-\lambda$ 非零，关于 $R(r)$ 的方程作换元 $x=r\sqrt{k^2-\lambda }$ ，记 $R(r)=y(x)$ 就得到

$$\frac{1}{x}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x\frac{\mathrm{d}y(x)}{\mathrm{d}x}\right)+\left(1-\frac{{\nu }^2}{x^2}\right)y(x)=0$$

称为 $\nu$ 阶 Bessel 方程 。以下先讨论 Bessel 方程解的性质，再介绍它在分离变量法中的应用。

Bessel 方程解的性质

先在复数域上讨论Bessel方程，已将其写成

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}w(z)}{\mathrm{d}{z}^2}+\frac{1}{z}\frac{\mathrm{d}w(z)}{\mathrm{d}z}+\left(1-\frac{{\nu }^2}{z^2}\right)w(z)=0$$

约定 $\mathrm{R}\mathrm{e}\nu >0$ 。

根据常微分方程的幂级数解法理论，由 $p(z)=z^{-1}$ ， $q(z)=1-{\nu }^2{z}^{-2}$ 知道

• $z=0$ 是方程的正则奇点
• $z=\infty$ 是方程的非正则奇点

$z=0$ 处指标 $\rho =\pm \nu$ 。 $\nu \notin \mathbb{Z}$ 时方程的两线性无关解可以写为

$$w_{1,2}(z)=J_{\pm \nu }(z)\equiv \sum _{k=0}^{+\infty }\frac{(-1{)}^k}{k!\Gamma (k\pm \nu +1)}{\left(\frac{z}{2}\right)}^{2k\pm \nu }$$

而如果 $\nu \in \mathbb{Z}$ ， $J_{\pm \nu }$ 就线性相关，这是因为

$$J_{-\nu }(z)=\sum _{k=\nu }^{+\infty }\frac{(-1{)}^k}{k!\Gamma (k-\nu +1)}{\left(\frac{z}{2}\right)}^{2k-\nu }=\sum _{l=0}^{+\infty }\frac{(-1{)}^{l+\nu }}{l!\Gamma (l+\nu +1)}{\left(\frac{z}{2}\right)}^{2l+\nu }=(-1{)}^{\nu }{J}_{\nu }(z)$$

注意 $\Gamma (-n)=\infty \forall n\ge 0,n\in \mathbb{Z}$ 。

特别地 $\nu =0$ 时 $J_{\pm \nu }(z)$ 相同。以上表明 $\nu$ 为非负整数 $n$ 时 Bessel 方程的第二解要采取对数形式

$$w_2(z)=g{J}_n(z)\ln z+\sum _{k=0}^{+\infty }{d}_k{z}^{k-n}$$

Neumann 函数的构造

事实上如果知道二阶ODE的一个解 $w_1(z)$ ，可以通过方程的系数求另一解 $w_2$：

$$\begin{array}{rl}& \frac{(w_1{w}_2^{\prime }-w_2{w}_1^{\prime }{)}^{\prime }}{w_1{w}_2^{\prime }-w_2{w}_1^{\prime }}=-p(z)\\ & w_1{w}_2^{\prime }-w_2{w}_1^{\prime }=A\exp \left(-{\int }^{z}p(\xi )\mathrm{d}\xi \right)\end{array}$$

具体地，可以算出

$$\mathrm{W}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{k}\mathrm{i}[J_{\nu },J_{-\nu }]\equiv \left|\begin{array}{cc}{J}_{\nu }& J_{\nu }^{\prime }\\ J_{-\nu }& J_{-\nu }^{\prime }\end{array}\right|=-\frac{2}{\pi z}\sin \pi \nu$$

当 $\nu =0,1,2,\cdots \in \mathbb{N}$ ， $\mathrm{W}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{k}\mathrm{i}[J_{\nu },J_{-\nu }]\sim \sin n\pi =0$ 。设 $w_2(z)=c_1{J}_{\nu }(z)+c_2{J}_{-\nu }(z)$ ，考虑

$$\mathrm{W}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{k}\mathrm{i}[J_{\nu },w_2]=\mathrm{W}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{k}\mathrm{i}[J_{\nu },c_2{J}_{-\nu }]=-\frac{2c_2}{\pi z}\sin \pi \nu$$

取 $c_2=-\frac{1}{\sin \pi \nu }$ ，Wronski 行列式就非零，找到了线性无关的第二解：

$$w_2(z)=\frac{c{J}_{\nu }(z)-J_{-\nu }(z)}{\sin \pi \nu }$$

考虑到 $J_{-n}(z)=(-1{)}^n{J}_n(z)$ ，为了使 $w_2(z)$ 在 $\nu$ 为整数也有意义，取 $c=\cos \pi \nu$ 。这样就得到 Neumann 函数

$$N_{\nu }(z)\equiv \frac{\cos \pi \nu J_{\nu }(z)-J_{-\nu }(z)}{\sin \pi \nu }$$

$\nu$ 为整数 $n$ 时

$$\begin{array}{rl}{N}_n(z)& =\underset{\nu \to n}{\lim }{N}_{\nu }(z)\stackrel{L^{\prime }H}{=}\frac{2}{\pi }{J}_n(z)\ln \frac{z}{2}-\frac{1}{\pi }{S}_1-\frac{1}{\pi }{S}_2\\ S_1& =\sum _{k=0}^{n-1}\frac{(n-k-1)!}{k!}{\left(\frac{z}{2}\right)}^{2k-n}(n\ge 1)\\ S_2& =\sum _{k=0}^{+\infty }\frac{(-1{)}^k}{k!(k+n)!}(\psi (n+k+1)+\psi (k+1)){\left(\frac{z}{2}\right)}^{2k+n}\end{array}$$

$\psi$ 是 $\Gamma$ 函数的对数微分。

Bessel 函数和 Neumann 函数的性质

零点和渐近特性

除了 $J_0(0)=1$ 以外 $J_{\nu }(0)=0$ ；
$N_{\nu }(0)$ 全部发散。
这样，如果实际问题要求 $u{|}_{r=0}$ 有界（很常见），边值问题解的径向部分就只含有 { J ν ( x ) } \{J_{\nu}(x)\} {Jν​(x)} 。

事实上可以证明

$$\begin{array}{rlr}{J}_{\nu }(z)& =\frac{1}{\Gamma (\nu +1)}{\left(\frac{z}{2}\right)}^{\nu }+O(z^{\nu +2})& (z\to 0)\\ J_{\nu }(z)& \sim \sqrt{\frac{2}{\pi z}}\cos \left(z-\frac{\nu \pi }{2}-\frac{\pi }{4}\right)& (z\to \infty )\\ N_{\nu }(z)& \sim -\frac{\Gamma (\nu )}{\pi }{\left(\frac{z}{2}\right)}^{-\nu }& (z\to 0)\\ N_{\nu }(z)& \sim \sqrt{\frac{2}{\pi z}}\sin \left(z-\frac{\nu \pi }{2}-\frac{\pi }{4}\right)& (z\to \infty )\end{array}$$

特别地有 $N_0(x)\sim \frac{2}{\pi }\ln \frac{x}{2}$ 。它在 $x=0$ 也发散。

多值性

约定 $J_{\nu },N_{\nu }$ 的定义

$$\begin{array}{rl}{J}_{\nu }(z)& =\sum _{k=0}^{+\infty }\frac{(-1{)}^k}{k!\Gamma (k+\nu +1)}{\left(\frac{z}{2}\right)}^{2k+\nu }\\ N_{\nu }(z)& =\frac{\cos \pi \nu J_{\nu }(z)-J_{-\nu }(z)}{\sin \pi \nu }\end{array}$$

只适用于 $|\arg z|<\pi$ 范围。

递推关系

$$\begin{array}{rlr}& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\left[z^{\nu }{J}_{\nu }(z)\right]=z^{\nu }{J}_{\nu -1}(z)& (1)\\ & \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\left[z^{-\nu }{J}_{\nu }(z)\right]=-z^{-\nu }{J}_{\nu +1}(z)& (2)\end{array}$$

利用 Bessel 函数的级数展开可以验证。级数在全平面收敛，从而可以逐项求导

$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}{J}_{\nu }(z)& =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\sum _{k=0}^{+\infty }\frac{(-1{)}^k}{\Gamma (k+\nu +1)}{\left(\frac{z}{2}\right)}^{2k+\nu }{z}^{\nu }\\ & =\sum _{k=0}^{+\infty }\frac{(-1{)}^k}{\Gamma (k+\nu )}{\left(\frac{z}{2}\right)}^{2k+(\nu -1)}{z}^{\nu }\\ & =z^{\nu }{J}_{\nu -1}(z)\end{array}$$

将左边的微分项打开，得到 $J_{\nu }^{\prime },J_{\nu },J_{\nu \pm 1}$ 之间的两个递推关系。分别消去 $J_{\nu }$ 或 $J_{\nu }^{\prime }$ 就得到

$$\begin{array}{rlr}{J}_{\nu -1}(z)-J_{\nu +1}(z)& =2J_{\nu }^{\prime }(z)& (3)\\ J_{\nu -1}(z)+J_{\nu +1}(z)& =\frac{2\nu }{z}{J}_{\nu }(z)& (4)\end{array}$$

• 任意整数阶的 Bessel 函数 $J_n(z)$ 都可以用 $J_0,J_1$ 表出。
  例如 $J_0^{\prime }(z)=-J_1(z)$ 。
• 递推关系 $(1),(2)$ 适合用于计算形如 $\int x^a{J}_{\nu }(x)\mathrm{d}x$ 的积分。

类似地可以验证， Neumann 函数也有一样的递推关系

$$\begin{array}{rl}& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\left[z^{\nu }{N}_{\nu }(z)\right]=z^{\nu }{N}_{\nu -1}(z)\\ & \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\left[z^{-\nu }{N}_{\nu }(z)\right]=-z^{-\nu }{N}_{\nu +1}(z)\end{array}$$

柱函数

满足递推关系

$$\begin{array}{rl}& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\left[z^{\nu }{C}_{\nu }(z)\right]=z^{\nu }{C}_{\nu -1}(z)\\ & \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\left[z^{-\nu }{C}_{\nu }(z)\right]=-z^{-\nu }{C}_{\nu +1}(z)\end{array}$$
的 $C_{\nu }(z)$ 称为 柱函数 。可以证明柱函数一定是对应阶 Bessel 方程的解。

• Bessel 函数 $J_{\nu }(z)$ 称为 第一类柱函数
• Neumann 函数 $N_{\nu }(z)$ 称为 第二类柱函数
• Hankel 函数 $H_{\nu }(z)$ 称为 第三类柱函数

$$\begin{array}{rl}{J}_{\nu }(z)& \sim \sqrt{\frac{2}{\pi z}}\cos \left(z-\frac{\nu \pi }{2}-\frac{\pi }{4}\right)\\ N_{\nu }(z)& \sim \sqrt{\frac{2}{\pi z}}\sin \left(z-\frac{\nu \pi }{2}-\frac{\pi }{4}\right)\\ H_{\nu }^{(1)}(z)& \equiv J_{\nu }(z)+i{N}_{\nu }(z)\sim \sqrt{\frac{2}{\pi z}}{e}^{i\left(z-\frac{\nu \pi }{2}-\frac{\pi }{4}\right)}\\ H_{\nu }^{(2)}(z)& \equiv J_{\nu }(z)-i{N}_{\nu }(z)\sim \sqrt{\frac{2}{\pi z}}{e}^{-i\left(z-\frac{\nu \pi }{2}-\frac{\pi }{4}\right)}\end{array}$$

如果时间因子选为 $e^{-i\omega t}$ ， Hankel 函数 $H^{(1)}(z),H^{(2)}(z)$ 分别只包含 发散波 和 汇聚波 成分。有时处理的问题中只包含发散波或汇聚波，或者希望明确区分这两种成分。使用 Hankel 函数在此时比较方便。

容易验证 Hankel 函数也满足以上递推关系和 Bessel 方程。

特殊的 Bessel 函数

整数阶 Bessel 函数

Bessel 方程的参数 $\mu ={\nu }^2$ 通常来自柱坐标系下角向的本征值问题

$$\begin{array}{rl}& {\Theta }^{\prime \prime }+\mu \Theta =0\\ & \Theta (0)=\Theta (2\pi ),{\Theta }^{\prime }(0)={\Theta }^{\prime }(2\pi )\\ & \mu =m^2,m=0,1,2,\cdots \end{array}$$

所以整数阶 Bessel 函数值得特别介绍。

生成函数

$$\exp \left[\frac{z}{2}\left(t-\frac{1}{t}\right)\right]=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{J}_n(z)t^n,0<|t|<\infty$$

令 $t=i{e}^{i\theta }$ ，就得到

$$e^{iz\cos \theta }=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{J}_n(z)i^n{e}^{in\theta }=J_0(z)+2\sum _{n=1}^{+\infty }{i}^n{J}_n(z)\cos n\theta$$

其中用到 $i^n{J}_n(z)=i^n(-1{)}^n{J}_{-n}(z)=i^{-n}{J}_{-n}(z)$ 。

进一步令 $z=kr$ ，并取时间因子为 $e^{-i\omega t}$ ，把 $r,\theta$ 理解为柱坐标系中的坐标变量，上式的意义就是 单色平面波 按 柱面波 展开。这是因为

• $e^{i(kr\cos \theta -\omega t)}$ 的等相面是

$$kr\cos \theta \equiv k{\hat{\mathbf{e}}}_x\cdot \mathbf{r}=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}.$$

这是沿 $x$ 轴正方向传播的平面波。

• 利用渐近关系看出 $J_n(kr)$ 表示的确实是柱面波：

$$J_n(kr)\sim \sqrt{\frac{2}{\pi kr}}\cos \left(kr-\frac{n\pi }{2}-\frac{\pi }{4}\right)$$
等相面 $kr=\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}.$ 。

积分表示

令 $t=e^{i\theta }$ 代入就得到

$$e^{iz\sin \theta }=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{J}_n(z)e^{in\theta }$$
表明 $J_n(z)$ 是 $e^{iz\sin \theta }$ Fourier 分量 $e^{in\theta }$ 的展开系数。

利用 Fourier 系数的定义有

$$J_n(z)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{e}^{iz\sin \theta }{e}^{-in\theta }\mathrm{d}\theta$$
被积函数是复的，但虚部是奇函数，只有实部对结果有贡献。这样就得到 Bessel 函数的积分表示

$$J_n(z)=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }\cos (z\sin \theta -n\theta )\mathrm{d}\theta$$

利用这个结果可以方便地计算 $J_n(x)$ 的 Laplace 变换。

虚宗量 Bessel 函数

Helmholtz 方程在 $k=0$ 时变为 Laplace 方程。径向问题的方程是

$$\frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(r\frac{\mathrm{d}R(r)}{\mathrm{d}r}\right)+\left(k^2-\lambda -\frac{\mu }{r^2}\right)R(r)=0$$

$k=0$ 时令 $x=i\sqrt{\lambda }r$ ， $R(r)\equiv y(x)$ 就再次得到 Bessel 方程

$$\frac{1}{x}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}y(x)\right)+\left(1-\frac{{\nu }^2}{x^2}\right)y(x)=0$$
其中 $\mu ={\nu }^2$ 。

这表明 Laplace 径向问题的解为

$$R(r)=c{J}_{\nu }(i\sqrt{\lambda }r)+d{N}_{\nu }(i\sqrt{\lambda }r)$$
注意到柱函数的宗量都是纯虚数。另一方面，计算

$$J_{\nu }(ix)=\sum _{k=0}^{+\infty }\frac{(-1{)}^k}{k!\Gamma (k+\nu +1)}{\left(\frac{ix}{2}\right)}^{2k+\nu }=\sum _{k=0}^{+\infty }\frac{i^{\nu }}{\Gamma (k+\nu +1)}{\left(\frac{x}{2}\right)}^{2k+\nu }$$

$i^{\nu }$ 应该理解为 $e^{i\pi \nu /2}$ ，下同。

方便起见，定义 $I_{\nu }(x)\equiv i^{-\nu }{J}_{\nu }(ix)$ ，称为 第一类虚宗量 Bessel 函数 。它是 虚宗量 Bessel 方程 的解：

$$\frac{1}{x}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}y(x)\right)+\left(-1-\frac{{\nu }^2}{x^2}\right)y(x)=0$$

经过类似的讨论可以知道 $I_{\pm \nu }(x)$ 在 $\nu \notin \mathbb{Z}$ 时线性无关，而

$$I_{-n}(x)=i^n{J}_{-n}(ix)=i^{-n}{J}_n(ix)=I_n(x)$$

此处用到 $J_{-n}(z)=(-1{)}^n{J}_n(z)$

虚宗量 Bessel 方程的第二解可以取为 McDonald 函数

$$K_{\nu }(x)=\frac{\pi }{\sin \pi \nu }[I_{-\nu }(x)-I_{\nu }(x)]$$
它也叫 第二类虚宗量 Bessel 函数 。 $\nu$ 为整数时它（在极限的意义上）依然有定义。利用 Wronski 行列式的方法可以类似地说明它和 $I_{\pm n}(x)$ 线性无关。

渐近行为

可以证明

$$\begin{array}{rl}& |I_{\nu }(0)|<\infty \\ & K_{\nu }(0)\text{发散}\\ & I_{\nu }(x)\sim \sqrt{\frac{1}{2\pi x}}{e}^x\\ & K_{\nu }(x)\sim \sqrt{\frac{\pi }{2x}}{e}^{-x}\end{array}$$

应用举例

柱坐标系下的 Laplace 边值问题

$$\begin{array}{rlr}& {\nabla }^{2}u=0& \\ & u{|}_{\theta =0}=u{|}_{\theta =2\pi },& \frac{\partial u}{\partial \theta }{|}_{\theta =0}=\frac{\partial u}{\partial \theta }{|}_{\theta =2\pi }\\ & u{|}_{z=0}=0,& u{|}_{z=h}=0\\ & u{|}_{r=0}\text{有界},& u{|}_{r=a}=f(\theta ,z)\end{array}$$

的一般解为

$$u(r,\theta ,z)=\sum _{m=0}^{+\infty }\sum _{n=1}^{+\infty }(A_{mn}\cos m\theta +B_{mn}\sin m\theta )I_m\left(\frac{n\pi }{h}r\right)\sin \left(\frac{n\pi }{h}z\right)$$

半奇数阶 Bessel 函数

由于 $J_{\pm 1/2}$ 是初等函数：

$$\begin{array}{rl}{J}_{1/2}(z)& =\sqrt{\frac{2}{\pi z}}\sin z\\ J_{-1/2}(z)& =\sqrt{\frac{2}{\pi z}}\cos z\end{array}$$

利用递推关系就推出： 所有半奇数阶的 Bessel 函数都是初等函数 。而所有半奇数阶 Neumann 函数事实上都可以写成半奇数阶 Bessel 函数。

半奇数阶 Bessel 函数的意义并不只在此，它还在球 Bessel 函数中有应用。

球 Bessel 函数

这篇关于电动力学的数学准备 02 柱函数的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

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