最短路径之Floyd-Warshall

本文主要是介绍最短路径之Floyd-Warshall，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

                       最短路径之Floyd-Warshall

1.算法思路:若要求两个点的最短路径,可以通过引入第三个点来间接到目的地，若距离缩短了,那么我们可以继续找第四个点…知道所有的点找完了即是最短距离。假设我们点与点的距离如下图:

由图可知，4->3的距离为12,假设我们通过1这个顶点来中转，这时，4->3的距离就缩短为4->1->3,共11。而如果通过1和2来中转的话，4->3就缩短为10(a[4][1]+a[1][2]+a[2][3]=5+2+3=10)。通过这个例子，我们发现每个顶点都可能使另外两个顶点的距离变短。下面，我们将问题一般化:
当任意两个点之间不允许经过第三个点时，这些城市之间的最短路径就是初始距离，如下:

假如我们现在只允许经过1号顶点，求任意两点之间的最短路径，只需要判断a[i][1]+a[1][j]是否比a[i][j]要下即可。a[i][j]表示的是从i号顶点到j号顶点之间的路径。a[i][1]+a[1][j]表示从i号顶点到1号顶点，再从一号顶点到j号顶点的路径之和。其中i是1~n循环，j也是1~n循环。代码如下:

for(int i=1;i<=n;i++){
      for(j=1;j<=n;j++){if(a[i][j]>a[i][1]+a[1][j]){
          a[i][j]=a[i][1]+a[1][j];          }   
      }
}

在只允许一号顶点的情况下，任意两点之间的最短路程更新为:

接下来，我们继续求只在允许经过1和2号两个顶点的情况下任意两点之间的最短路径。如何求?我们只需要在只允许经过1号顶点时任意两点的最短路程的结果下，在判断如何经过2号顶点是否可以使得i号顶点到j号顶点之间的路径更短。即判断:a[i][2]+a[2][j]是否比a[i][j]要小,在经过1和2号顶点的情况下，任意两点的最短路径更新为:

所以。最后代码如下:

#include<stdio.h>
int main(){int a[10][10];//用来存储点与点之间的路径int point,beside;//point用来表示顶点的个数，beside表示边的条数int inf=99999999;//用来表示无穷大int x,y,z; //用来表示x点到y点的距离为zscanf("%d %d",&point,&beside);for(int i=1;i<=point;i++)            for(int j=1;j<=point;j++){if(i==j){       a[i][j]=0;}else{a[i][j]=inf;}}  //初始化邻接矩阵,a[1][1],a[2][2],a[3][3],a[4][4]初始化为0，表示自己到自己距离为0。其余为无穷大for(i=1;i<=beside;i++){scanf("%d %d %d",&x,&y,&z);a[x][y]=z;   //x到y的距离为z}//算法开始for(int k=1;k<=point;k++) //表示经过哪个顶点来松弛距离,分别用1,2,3,4四个顶点来松弛for(i=1;i<=point;i++)for(int j=1;j<=point;j++){if(a[i][k]<inf&&a[k][j]<inf&&a[i][j]>a[i][k]+a[k][j]){ //k为通过哪个点a[i][j]=a[i][k]+a[k][j]; //通过其他点可以找到更短的路径//a[i][k]<inf&&a[k][j]<inf是防止a[i][k]+a[k][j]超出了int的最大范围}}for(i=1;i<=point;i++)for(int j=1;j<=point;j++){printf("%d号城市到%d号城市最短路径为:%d\n",i,j,a[i][j]);}return 0;
}

测试样例:
第一行:顶点数 边数(例如4 8表示有4个顶点，8条边)
第二行:每条边的数据(例如:1 2 2表示1号顶点到2号顶点的距离为2)
第三行:输出每个点到另外的点的最短路径

                                 图示:

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