PRML1.6 信息论简介

本文主要是介绍PRML1.6 信息论简介，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

最近需要比较两个集合的KL散度，特意翻了一下PRML中的相关章节，做个小结。如果不够的化还得翻information theory的书TAT

离散随机变量的信息量

首先从最简单的离散随机变量 X ∈ { x 1 , x 2 , . . . x M } X\in\{x_1,x_2,...x_M\} X∈{x1​,x2​,...xM​}说起，假设$Pr(x_i)=p_i$，则有${\sum }_i=1$。如果我们采样到了$X$的一个具体值$x$，考虑到我们关心的是$X$及其分布$p$，而不是某次观测到的具体的$x$，所以我们肯定要问，这个观测值给我们提供了多少（关于$X$（或$p$）的）信息？PRML用“degree of surprise”来描述这个信息量$h(x)$。这怎么理解呢？
我们举个极端的例子：太阳已经东升西落了上亿年，但是我们假设其升落方向其实是一个随机变量。那么有一天太阳从北方升起来了，这次采样的信息量就远远大于采样到从东方升起，同时“degree of surprise”也更大。我们不妨换一个角度，也可以把信息量看作此次采样对于我们认识真实分布$p$的帮助程度（或有用程度），采到概率越小的点，越有助于我们认识整体分布。
由上直觉可知$h(x_i)$必须得是$p_i$的单调减函数。另一方面对于两个独立事件$x,y$，他们总的信息量$h(x,y)$应当是各自信息量之和$h(x)+h(y)$，而总的概率$Pr(x,y)$应当是各自概率之积$Pr(x)Pr(y)$，所以很自然有了定义：$$h(x)=-lo{g}_{2}Pr(x)$$这里底数的选择比较灵活，如果以2为底，则信息量的单位是bit；如果以$e$为底，单位则是nat。$h(x)$也正好具有非负的特性。

离散随机变量的平均信息量——熵

信息量描述的对象是一次采样样本，推广到统计意义上，便有了平均信息量的概念——随机变量$X$的熵：
$$H[X]=-\sum _{x}Pr(x)lo{g}_{2}Pr(x)=-\sum _i{p}_{i}lo{g}_2{p}_i$$
其中，由洛必答法则，$li{m}_{p_i\to 0}{\sum }_i{p}_{i}lo{g}_2{p}_i=0$
PRML中给了个例子：对于一个包含8状态 { a , b , c , d , e , f , g , h } \{a,b,c,d,e,f,g,h\} {a,b,c,d,e,f,g,h}的随机变量，出现概率分别是 { 1 2 , 1 4 , 1 8 , 1 16 , 1 64 , 1 64 , 1 64 , 1 64 , } \{\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{8},\dfrac{1}{16},\dfrac{1}{64},\dfrac{1}{64},\dfrac{1}{64},\dfrac{1}{64},\} {21​,41​,81​,161​,641​,641​,641​,641​,}，其熵是2bits。另一方面，通过霍夫曼编码得到的 { 1 , 01 , 001 , 0001 , 000011 , 000010 , 000001 , 000000 } \{1,01,001,0001,000011,000010,000001,000000\} {1,01,001,0001,000011,000010,000001,000000}，其加权平均的编码长度正好是2bits：）事实上香侬证明过了，熵是传输一个随机变量状态所需的的比特位的下界。
还有一个结论是，随机变量的分布越均匀，其熵就越大；随机变量的分布越集中在某个状态，其熵就越小。直观理解，分布越集中，混乱程度越小、平均信息量越小，熵自然也就越小。从数学的角度，拉格朗日乘子法也可以求解这个最优化问题：（为了易于计算，以下取底数为$e$）
$$H=-\sum _i{p}_{i}ln{p}_i+\lambda (\sum _i{p}_i-1)$$
$$\frac{\partial H}{\partial p_i}=-ln{p}_i-1+\lambda$$
令上式等于0，$p_i=e^{\lambda -1}$是与$i$无关的常数，则$p_i=\frac{1}{M}$，其中$M$为状态总数。带入求解Hessen矩阵：
$$\frac{{\partial }^{2}H}{\partial p_i\partial p_j}=-I_{ij}\frac{1}{p_i}$$
负定，确实是最大值。

连续随机变量的熵——微分熵

这里首先要确保我们对微积分有一点分析学上的认识（这里的图不错），然后当$p(x)$连续，以宽度$\Delta$划分定义域，则$$\exists x_i\in [i\Delta ,(i+1)\Delta ],{\int }_{i\Delta }^{(i+1)\Delta }p(x)dx=p(x_i)\Delta$$
所以用上面的$x_i$等效区间$[i\Delta ,(i+1)\Delta ]$内的所有$x$（如果看了上面的链接还不明白为什么能等效的话，不妨看看微积分或数学分析教材中关于微分和积分的内容），则采样到$x_i$的概率是$p(x_i)\Delta$（=矩形面积=长$\times$宽），这样我们把连续变量离散化，并用离散变量的处理方法求熵
$$H_{\Delta }=-\sum _{i}p(x_i)\Delta ln(p(x_i)\Delta )=-\sum _{i}p(x_i)\Delta ln(p(x_i))-ln\Delta$$
忽略其中第二项$-ln\Delta$，然后求极限$\Delta \to 0$，则根据微积分的定义$$\underset{\Delta \to 0}{\lim }\sum _{i}p(x_i)\Delta ln(p(x_i))=-\int p(x)lnp(x)dx$$
我们把等号右边的部分称做连续变量的微分熵，其和离散变量的熵相差$-ln\Delta$。这一发散项说明：要全面获取一个连续随机变量的信息，需要大量的比特位。
同样可以由拉格朗日乘数法求得$X$服从高斯分布时微分熵有最大值$\frac{1}{2}[1+ln(2\pi {\sigma }^2)]$，这个值是可以取负的。

条件熵

假设我们有联合分布$p(x,y)$，我们从中采样得到$(x,y)$，则边缘分布$$p(x)=\int p(x,y)dy$$
已知$x$时，y所增加的额外信息量即$-lnp(y|x)$，在概率分布下的平均信息量即条件熵：

$$H[Y|X]=\int p(x)H[Y|X=x]dx$$
$$=-\int p(x)\int p(y|x)lnp(y|x)dydx$$
$$=-\int \int p(x)p(y|x)lnp(y|x)dxdy$$
$$-\int \int p(x,y)lnp(y|x)dxdy$$
描述了在已知随机变量$X$的条件下随机变量$Y$的不确定性。
容易知道，$H[X,Y]=H[Y|X]+H[X]$

相对熵（KL散度）

下面要把上面的概念拓展到模式识别领域去。假设我们要对一个真实分布$p(x)$建模，获得了$q(x)$，这时所携带的学信息量即为交叉熵。由上文可知，$q(x)$必然携带了比$p(x)$更加多的信息量（因为$p(x)$是最优的），这个多出来的信息量即相对熵(KL散度、KL距离)：
$$KL(p||q)=H(p,q)-H(p)$$
$$=\int p(x)ln\frac{1}{q(x)}dx-(\int p(x)ln\frac{1}{p(x)}dx)$$
$$=\int p(x)ln\frac{p(x)}{q(x)}dx$$
由上面的定义可知，这里没有交换律：$KL(p||q)̸=KL(q||p)$

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