【C++练级之路】【Lv.15】AVL树（双子旋转，领略绝对平衡之美）

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引言

之前讲解了二叉搜索树，最优情况下它具有非常好的搜索性能，但是在极端场景下，它可能退化为单支树，可以形象地称为歪脖子树~

这样的话，它搜索的时间复杂度会从O(log₂N)退化为O(N²)，完全丧失了其优良的搜索性能。那么AVL树就可以登场了，它就是为解决这类问题而生的！

一、AVL树的概念

两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了AVL树，AVL树满足两条性质：

• 它的左右子树都是AVL树
• 任意结点的左右子树高度差的绝对值不超过1

这样通过控制子树高度差，让AVL树几乎完美接近于平衡，便不会出现单支树的情况，保证了优良的搜索性能，因此AVL树又称为高度平衡二叉搜索树。

二、AVL树的模拟实现

2.1 结点

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode<K, V>* _left;AVLTreeNode<K, V>* _right;AVLTreeNode<K, V>* _parent;pair<K, V> _kv;int _bf;//balance factorAVLTreeNode(const pair<K, V>& kv): _left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _kv(kv), _bf(0){}
};

细节：

1. 使用三叉链，增加了指向parent的指针
2. 使用KV模型，数据存储键值对pair
3. 结点存储平衡因子，用来记录左右子树高度差

注：平衡因子计算高度差，是 右子树高度 - 左子树高度

2.2 成员变量

template<class K, class V>
class AVLTree
{
protected:typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
protected:Node* _root = nullptr;
};

2.3 插入

因为AVL树也是二叉搜索树，所以默认成员函数和遍历与之前写的没什么不同，这里重点讲解AVL树的插入。

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}cur->_parent = parent;while (parent)//讨论平衡因子{if (cur == parent->_right){++parent->_bf;}else{--parent->_bf;}if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){parent = parent->_parent;cur = cur->_parent;}else if (parent->_bf == 0){break;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){//旋转if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){RotateL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){RotateR(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){RotateLR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){RotateRL(parent);}else{assert(false);}break;}else{assert(false);}}return true;
}

思路：

1. 以二叉搜索树的方式正常插入
2. 讨论平衡因子，以及调整结构

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这里的重点在于如何讨论和调整平衡因子(bf)。

1. 首先，插入cur结点，调整parent结点的bf，左减右加
2. 讨论parent的bf
   • bf为0
   • bf为1或-1
   • bf为2或-2

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bf为0时：

分析：此时没有增加高度，而是补上缺口，整棵树是平衡的，直接break即可

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bf为1或-1时：

分析：此时增加了局部子树的高度，不确定有没有影响整体的高度差，所以要继续向上调整

parent = parent->_parent;
cur = cur->_parent;

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bf为2或-2时：

此时bf已经超出平衡限制区间，需要进行结构调整，我们称之为旋转。

2.4 旋转

旋转分为两大类：单旋和双旋。而单旋分为左单旋和右单旋，双旋分为左右旋和右左旋。

2.4.1 左单旋

场景：右部外侧插入

过程：

1. parent接过subR的左子树subRL
2. subR左边再链接parent

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void RotateL(Node* parent)//左单旋
{Node* grandparent = parent->_parent;Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;if (subRL){subRL->_parent = parent;}subR->_left = parent;parent->_parent = subR;if (grandparent){if (grandparent->_right == parent){grandparent->_right = subR;}else{grandparent->_left = subR;}}else{_root = subR;}subR->_parent = grandparent;parent->_bf = subR->_bf = 0;
}

细节：

1. 大体是三步链接，注意双向链接
2. 注意判空（subRL，grandparent）
3. 如果判空，注意_root的传递
4. 最后调整平衡因子_bf

2.4.2 右单旋

场景：左部外侧插入

过程：

1. parent接过subL的右子树subLR
2. subL右边再链接parent

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void RotateR(Node* parent)//右单旋
{Node* grandparent = parent->_parent;Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;if (subLR){subLR->_parent = parent;}subL->_right = parent;parent->_parent = subL;if (grandparent){if (grandparent->_right == parent){grandparent->_right = subL;}else{grandparent->_left = subL;}}else{_root = subL;}subL->_parent = grandparent;parent->_bf = subL->_bf = 0;
}

细节：同左单旋

2.4.3 左右旋

场景：左部内侧插入

过程：

1. 先对subL进行左单旋
2. 再对parent进行右单旋

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void RotateLR(Node* parent)//左右旋
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;RotateL(subL);RotateR(parent);if (bf == 1){subL->_bf = -1;subLR->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else if (bf == -1){subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;parent->_bf = 1;}else if (bf == 0){subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else{assert(false);}
}

细节：

1. 这里旋转直接复用前面单旋的代码
2. 主要的重点，在于平衡因子bf的讨论
   • bf为1，在subLR的右侧插入
   • bf为-1，在subLR的左侧插入
   • bf为0，插入subLR（之前为空）

2.4.4 右左旋

场景：右部内侧插入

过程：

1. 先对subR进行右单旋
2. 再对parent进行左单旋

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void RotateRL(Node* parent)//右左旋
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(subR);RotateL(parent);if (bf == 1){parent->_bf = -1;subRL->_bf = 0;subR->_bf = 0;}else if (bf == -1){parent->_bf = 0;subRL->_bf = 0;subR->_bf = 1;}else if (bf == 0){parent->_bf = 0;subRL->_bf = 0;subR->_bf = 0;}else{assert(false);}
}

细节：同左右旋

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综上所述，旋转的目的：保证平衡，同时降低树的高度。

三、AVL树的验证

我们主要验证左右子树高度是否平衡，即高度差是否小于等于1

bool IsBalance()
{return _IsBalance(_root);
}int Height(Node* root)
{if (root == nullptr){return 0;}int leftH = Height(root->_left);int rightH = Height(root->_right);return leftH > rightH ? leftH + 1 : rightH + 1;
}bool _IsBalance(Node* root)
{if (root == nullptr){return true;}int leftH = Height(root->_left);int rightH = Height(root->_right);if (rightH - leftH != root->_bf){cout << root->_kv.first << "节点平衡因子异常" << endl;return false;}return abs(rightH - leftH) <= 1&& _IsBalance(root->_left)&& _IsBalance(root->_right);
}

细节：

1. 为了方便计算高度，写一个Height函数
2. 在子函数递归中，计算高度差是否小于等于1
3. 与此同时，还要检查平衡因子是否正常

四、AVL树的性能

4.1 优势

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即$lo{g}_2(N)$。

4.2 缺陷

但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。

4.3 适用场景

因此，如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。

真诚点赞，手有余香

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