单变量线性判别分析分类方法

单变量线性判别分析

用贝叶斯方法进行分类

线性判别分析（linear discriminant analysis, LDA）与贝叶斯分类方法的关系十分紧密。我们先来看怎么用贝叶斯方法进行分类。

假设我们有数据集 { ( X 1 , Y 1 ) , ( X 2 , Y 2 ) , ⋯ , } \{(X_1, Y_1), (X_2, \, Y_2), \cdots, \} {(X1​,Y1​),(X2​,Y2​),⋯,}。这里$X$ 是自变量，$Y$ 是因变量，或称为测量量、要预测的变量。$X_i$可以是一个多维的向量。我们想要把测量到的点（观察点） $Y_i$ 分为$K$ 类中的一类。我们假设每一类的先验概率为 ${\pi }_k$，即如果我们没有其他信息，随机得抽取一个样本点，这个样本点属于第$k$ 类的概率就是 ${\pi }_k$。我们用 $f_k(x)=\mathbb{P}(X=x|Y=k)$ 来表示当观察点属于第 $k$ 类时，自变量$X$ 的概率密度分布 （当$X$ 的取值为离散的时候，我们就用概率$\mathbb{P}(X=x|Y=k)$表示）。

于是，根据Bayes 公式，我们有
$$\begin{array}{rl}\mathbb{P}(Y=k|X=x)& =\frac{\mathbb{P}(X=x,Y=k)}{\mathbb{P}(X=x)}\\ & =\frac{\mathbb{P}(X=x,Y=k)}{{\sum }_{\ell =1}^K\mathbb{P}(Y=\ell )\mathbb{P}(X=x|Y=\ell )}\\ & =\frac{{\pi }_k{f}_k(x)}{{\sum }_{\ell =1}^K{\pi }_{\ell }{f}_{\ell }(x)}\end{array}$$

所以，根据 Bayes 公式，如果我们能够计算出 $\frac{{\pi }_k{f}_k(x)}{{\sum }_{\ell =1}^K{\pi }_{\ell }{f}_{\ell }(x)}$ 的值，我们可以比较得出使得$\frac{{\pi }_k{f}_k(x)}{{\sum }_{\ell =1}^K{\pi }_{\ell }{f}_{\ell }(x)}$ 的值最大的那个类 $k$，从而将 $X=x$ 这个数据分到第 $k$类中。为了方便起见，我们用 $p_k(x)$ 来表示 $\mathbb{P}(Y=k|X=x)$。

如果我们有预先的知识能让我们决定先验分布 ${\pi }_k$，我们可利用预先有的知识来确定 ${\pi }_k$。否则，我们就用样本的频数来估计 ${\pi }_k$。即 ${\pi }_k=n_k/n$。这里 $n_k$ 是属于第 $k$ 类的样本点的数目。$n$ 是总共的样本数。

而线性判别分析，linear discriminant analysis (LDA) 就提供了一个估计 $p_k(x)$ 的方法。下面我们就来介绍如何用 LDA 来进行贝叶斯公式的估计，从而对数据进行分类。

单变量线性判别分析分类

所谓单变量的线性判别分析，是指 $X$ 只有一个变量，即 $X$ 是一维的。我们假设 $Y$ 可以取三个不同的类别。为了估计 $p_k(x)$，我们须要对 $f_k(x)$ 有一个估计。这里线性判别分析做了一个假设，即假设 $f_k(x)$ 服从一个正态分布。回忆上文，$f_k(x)$ 表示当观察点属于第 $k$ 类时，自变量 $X$ 的概率密度分布。根据这个假设，我们有
$$f_k(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp \left(-\frac{(x-{\mu }_k{)}^2}{2{\sigma }_k^2}\right)$$

有了对 $f_k(x)$ 的估计，我们便可以计算 $p_k(x)$。根据上面的公式，我们有$p_k(x)=\frac{{\pi }_k{f}_k(x)}{{\sum }_{\ell =1}^K{\pi }_{\ell }{f}_{\ell }(x)}$。代入 $f_k(x)$ 的表达式，我们有
$$p_k(x)=\frac{{\pi }_k\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp \left(-\frac{(x-{\mu }_k{)}^2}{2{\sigma }_k^2}\right)}{{\sum }_{\ell =1}^K{\pi }_{\ell }\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp \left(-\frac{(x-{\mu }_{\ell }{)}^2}{2{\sigma }_{\ell }^2}\right)}$$

如果我们再做一个假设，假设${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2=\cdots ={\sigma }_K^2$。即对于不同类别的数据，它们对应的 $X$ 的分布的方差是相同的。那么我们就有

$$p_k(x)=\frac{{\pi }_k\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp \left(-\frac{(x-{\mu }_k{)}^2}{2{\sigma }^2}\right)}{{\sum }_{\ell =1}^K{\pi }_{\ell }\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp \left(-\frac{(x-{\mu }_{\ell }{)}^2}{2{\sigma }^2}\right)}.\text{\hspace{1em}(1)}$$

对于给定的 $X=x$，我们找出使得 $p_k(x)$ 最大的那一 $k$ 类，就把 $x$ 划分到第 $k$ 类。

分析公式（1），可以发现分母 $\sum _{\ell =1}^K{\pi }_{\ell }\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp \left(-\frac{(x-{\mu }_{\ell }{)}^2}{2{\sigma }^2}\right)$ 是与 $k$ 无关的。从而我们只需要找到使得分子 ${\pi }_k\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp \left(-\frac{(x-{\mu }_k{)}^2}{2{\sigma }^2}\right)$ 最大的那个 $k$ 即可。对分子求对数，我们有
$$\begin{array}{rl}\underset{k}{\mathrm{argmax}}\left(p_k(x)\right)& =\underset{k}{\mathrm{argmax}}{\delta }_k(x)\\ & =\underset{k}{\mathrm{argmax}}\left(\log ({\pi }_k)+\frac{x\cdot {\mu }_k}{{\sigma }^2}-\frac{{\mu }_k^2}{2{\sigma }^2}\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$。

由于${\delta }_k(x)$ 关于 $x$ 是线性的，所以我们称之为线性判别分析。

具体地说，如果我们要比较第一类（$k=1$） 和第二类 （$k=2$），我们代入表达式（2），来看什么情况下$p_1(x)$ 比 $p_2(x)$ 大。这里先假设 ${\mu }_1<{\mu }_2$，并且我们假设所有类别的先验概率都是一样的，即 ${\pi }_1={\pi }_2=\cdots ={\pi }_K$。
$$\begin{array}{rl}{p}_1(x)>p_2(x)& ⟺\frac{x\cdot {\mu }_1}{{\sigma }^2}-\frac{{\mu }_1^2}{2{\sigma }^2}>\frac{x\cdot {\mu }_2}{{\sigma }^2}-\frac{{\mu }_2^2}{2{\sigma }^2}\\ & ⟺x\cdot ({\mu }_1-{\mu }_2)>\frac{1}{2}({\mu }_1^2-{\mu }_2^2)\\ & ⟺x<\frac{1}{2}({\mu }_1+{\mu }_2)\end{array}$$

也就是说，当 $x$ 的值小于 ${\mu }_1$ 与 ${\mu }_2$ 的平均值时，$x$ 就划分为第一类；反之当 $x$ 的值大于 ${\mu }_1$ 与 ${\mu }_2$ 的平均值时，就划分为第二类。

如果我们有多余两个的类别的数目（$K>2$），我们须要计算$p_1(x),p_2(x),\cdots ,p_K(x)$，找到使 $p_k(x)$ 最大的那个 $k$。

参数估计

实际问题中，大多数情况下我们是不知道${\mu }_1,{\mu }_2,\cdots ,{\mu }_K$ 以及 ${\sigma }^2$ 的，这就要求我们对 ${\mu }_1,{\mu }_2,\cdots ,{\mu }_K$ 以及 ${\sigma }^2$ 作出估计。
我们用如下方法进行估计 [1]：
$$\begin{array}{rl}{\hat{\mu }}_k& =\frac{1}{n_k}\sum _{i:y_i=k}{x}_i\\ {\hat{\sigma }}^2& =\frac{1}{n-K}\sum _{k=1}^K\sum _{i:y_i=k}(x_i-{\hat{\mu }}_k{)}^2\end{array}$$

这里 $n$ 是样本点的个数，$n_k$ 是第 $k$ 类的样本点的数目。

程序实现

假设 $K=3$，我们的样本数据来自于三个不同的正态分布，如下图所示：

黑色的虚线和红色的虚线分别代表根据LDA 的线性判别公式得到的分类边界（decision boundary）。

我们根据三个不同的正态分布生成样本数据点。

num_points_each_category = 10
x1_sample = np.random.normal(mu_vec[0], 1, (num_points_each_category, 1)) 
x2_sample = np.random.normal(mu_vec[1], 1, (num_points_each_category, 1))
x3_sample = np.random.normal(mu_vec[2], 1, (num_points_each_category, 1))
x1_label = np.zeros((num_points_each_category, 1)) + 1 # generate the label value for category 1
x2_label = np.zeros((num_points_each_category, 1)) + 2 # generate the label value for category 2
x3_label = np.zeros((num_points_each_category, 1)) + 3 # generate the label value for category 3# Make x_i of shape (num_points_each_category, 2), with x_i[:,0] being the data value 
# and x_i[:,1] the category label
x1 = np.hstack((x1_sample, x1_label))
x2 = np.hstack((x2_sample, x2_label))
x3 = np.hstack((x3_sample, x3_label))# Combine them into one ndarray
sample = np.vstack((x1, x2, x3))

sample 的 shape 为 ($m$, 2)。这里 $m$ 是所有数据点的个数。样本点生成之后，我们可以根据一下程序对样本点进行分类。

class LDA:def __init__(self, num_categories, pi_vector, mu_vector, variance):"""num_categories is the number of total categories. vairance is the common distribution variance for all categories.pi_vector is the vector containing the prior distribution forall categories. len(pi_vector) = num_categoriesmu_vector is the vector containing the mean value for eachcategory. len(mu_vector) = num_categories."""self.num_categories = num_categoriesself.variance = varianceself.pi_vector = pi_vectorself.mu_vector = mu_vectorself.estimated_mu_vector = []self.estimated_variance = 0def discriminantFormula(self, x, pi_k, mu_k, var):"""Calculate the value of the \delta_k(x) function given x. The meaning of \delta_k(x) function isdefined in the text. pi_k is the prior distribution for the kth category.mu_k is the mean value of the kth category."""delta_k_at_x = x * mu_k / var + \np.log(pi_k) - (mu_k ** 2) / (2 * var)return delta_k_at_xdef find_best_k(self, x, using_estimated_mu_and_var=True):"""Find the best category that makes \delta_k(x) the largest.x is the value of the sample data point."""cur_max = -float('inf')candi = -1for i in range(self.num_categories):if using_estimated_mu_and_var:cur = self.discriminantFormula(x, self.pi_vector[i], self.estimated_mu_vector[i], self.estimated_variance)else:cur = self.discriminantFormula(x, self.pi_vector[i], self.mu_vector[i], self.variance)if cur > cur_max:candi = icur_max = curreturn candi + 1 # we add 1 because the index starts from 0def get_estimation_mu_variance(self, sample):"""In reality we need to estimate the mu_vector and the commonvariance from the sample. sample has a dimension of (m, 2). m is the total number of data points. sample[:,0] is the valueof the data points, sample[:,1] is the category label for each data point (the label starts from 1). """m = sample.shape[0]mu_estimated = [0 for _ in range(self.num_categories)]variance_total = 0for i in range(self.num_categories):category_i_data = sample[sample[:,1] == (i + 1)]mu_estimated[i] = np.mean(category_i_data[:,0])variance_total += np.sum((category_i_data[:,0] - mu_estimated[i]) ** 2)variance_estimated = variance_total / (m - self.num_categories)self.estimated_mu_vector= mu_estimatedself.estimated_variance = variance_estimatedreturn (mu_estimated, variance_estimated)def calculate_accuracy(self, sample: 'np.ndarray', using_estimated_mu_and_var=True):"""We calculate the accuracy of the LDA classification method. Heresample is an np.ndarray type with the dimension (m, 2). m is the total number of points in sample. """m = sample.shape[0]predicted = [-1 for _ in range(m)]for i in range(m):cur_predicted = self.find_best_k(sample[i, 0], using_estimated_mu_and_var)predicted[i] = cur_predictedreturn np.sum(np.array(predicted) == sample[:,1]) / m

对样本 sample 进行分析如下。

a = LDA(num_categories=3, pi_vector=[1/3, 1/3, 1.3], mu_vector=mu_vec, variance=1)
estimated_mu_vector, estimated_variance = a.get_estimation_mu_variance(sample)
a.calculate_accuracy(sample, using_estimated_mu_and_var=True)

最终作图如下：

plt.figure(figsize=(10, 8))
plt.plot(x1[:,0], np.zeros(num_points_each_category), 's', x2[:,0], np.zeros(num_points_each_category), 'v',x3[:,0], np.zeros(num_points_each_category), 'o', markerfacecolor='none', markersize=20, markeredgewidth=2)
# plt.scatter(x2_sample, np.zeros(10), 'v', markerfacecolor='none', markersize=20, linewidth=8)
# plt.scatter(x3_sample, np.zeros(10), 'o', markerfacecolor='none', markersize=20, linewidth=8)
plt.vlines(1, -0.1, 0.1, color='red',linestyles='--', linewidth=4)
plt.vlines(-1, -0.1, 0.1, color='black',linestyles='--', linewidth=4)
plt.vlines(np.mean([estimated_mu_vector[1], estimated_mu_vector[2]]), -0.1, 0.1, color='red',linestyles='-', linewidth=4)
plt.vlines(np.mean([estimated_mu_vector[0], estimated_mu_vector[1]]), -0.1, 0.1, color='black',linestyles='-', linewidth=4)
plt.ylim(-0.1, 0.1)
plt.xlabel(r"x", fontsize=36)
#plt.ylabel("$y$", fontsize=36)
plt.xticks(fontsize=24)
plt.yticks([])

图中虚线为根据理论的样本分布函数期望计算得到的分类边界，实线则为根据实际样本点计算得到的分类边界。有了边界值，如果在给我们一个样本点 $x$，我们就可以根据分类边界对 $x$ 进行分类。

参考文献

[1] An introduction to statistical learning: with applications in R, Gareth James, Daniela Witten, Trevor Hastie, and Robert Tibshirani, Springer.