洛谷 P3379 【模板】最近公共祖先（LCA） 做题反思（2024.3.21）

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【模板】最近公共祖先（LCA）

题目描述

如题，给定一棵有根多叉树，请求出指定两个点直接最近的公共祖先。

输入格式

第一行包含三个正整数 $N,M,S$，分别表示树的结点个数、询问的个数和树根结点的序号。

接下来 $N-1$ 行每行包含两个正整数 $x,y$，表示 $x$ 结点和 $y$ 结点之间有一条直接连接的边（数据保证可以构成树）。

接下来 $M$ 行每行包含两个正整数 $a,b$，表示询问 $a$ 结点和 $b$ 结点的最近公共祖先。

输出格式

输出包含 $M$ 行，每行包含一个正整数，依次为每一个询问的结果。

样例 #1

样例输入 #1

5 5 4
3 1
2 4
5 1
1 4
2 4
3 2
3 5
1 2
4 5

样例输出 #1

4
4
1
4
4

提示

对于 $30\%$ 的数据，$N\le 10$，$M\le 10$。

对于 $70\%$ 的数据，$N\le 10000$，$M\le 10000$。

对于 $100\%$ 的数据，$1\le N,M\le 500000$，$1\le x,y,a,b\le N$，不保证 $a\ne b$。

样例说明：

该树结构如下：

第一次询问：$2,4$ 的最近公共祖先，故为 $4$。

第二次询问：$3,2$ 的最近公共祖先，故为 $4$。

第三次询问：$3,5$ 的最近公共祖先，故为 $1$。

第四次询问：$1,2$ 的最近公共祖先，故为 $4$。

第五次询问：$4,5$ 的最近公共祖先，故为 $4$。

故输出依次为 $4,4,1,4,4$。

2021/10/4 数据更新 @fstqwq：应要求加了两组数据卡掉了暴力跳。

最近公共祖先（LCA）的概念
两个节点的最近公共祖先（LCA）就是这两个点的公共祖先里面，离他们最近的那个。
如图所示：

例如：
9和8的祖先节点有1、5、6，但是离9和8最近的公共祖先是节点6

倍增算法：是最经典的求LCA算法
$\bullet$dep[u]是存u点的深度；
$\bullet$fa[u][i]存从u点向上跳$2^i$层的祖先节点。（i=0，1，2，3，…）；

例如：
从节点9向上跳$2^0$层的祖先是3，跳$2^1$层的祖先是6，跳$2^2$层的祖先是1，跳$2^3$层的祖先是0（即越界）。

1、dfs一遍，创建ST表
倍增递推，fa[u][i]=fa[fa[u][i-1]][i-1]

假设u是节点9，则层数增加两倍到倒数第四层，再除以2到倒数第二层，找到节点6，依次递归到节点1。

如表所示：

	0	1	2	3	…	19
1	0	0	0	0	…	0
5	1	0	0	0	…	0
2	5	1	0	0	…	0
6	5	1	0	0	…	0
3	6	5	0	0	…	0
9	3	6	1	0	…	0

2、利用ST表求LCA
（1）第一阶段，将u，v跳到同一层
设u，v两点的深度之差为y，将y进行二进制拆分，可以将y次游标跳跃优化为“y的二进制表示所有含1的个数”次游标跳跃，一定能跳到同一层。
例如，y=1019（0…01111111011）=512+256+…+8+2+1，不越界则跳，共跳9次到达。
（2）第二阶段，将u，v一起跳到LCA的下一层
从最大的i开始循环尝试，一直尝试到0，最后游标u，v一定能停在LCA的下一层。
两游标会跳512+256+…+8+2=1018层，共跳8次到达LCA的下一层。

代码示例如下：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 5e5 + 10;
int n, m, s;
int f[N][22], dep[N];
int e[2 * N], ne[2 * N], h[N], idx;
void add(int a, int b) {e[++idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx;
}
void dfs(int u, int fa) {dep[u] = dep[fa] + 1;//计算节点u的深度f[u][0] = fa;//找节点u的父节点for (int i = 1; i <= 20; i++) {//这里从1循环到20的原因是因为n的最大范围是5e5+10，所以2的20次方是一百万，远远大于5e5+10，这样保证数据不会溢出f[u][i] = f[f[u][i - 1]][i - 1];//找到所有的公共祖先}for (int i = h[u]; i; i = ne[i]) {int j = e[i];if (j != fa)dfs(j, u);//如果没有找到父节点就继续搜}
}
int lca(int u, int v) {if (dep[u] < dep[v])swap(u, v);//先跳到同一层for (int i = 20; i >= 0; i--) {if (dep[f[u][i]] >= dep[v]) {//将节点u继续往上跳u = f[u][i];}}if (u == v)return v;//找到最近公共祖先for (int i = 20; i >= 0; i--) {if (f[u][i] != f[v][i]) {//如果没有找到最近公共祖先u = f[u][i];v = f[v][i];}}return f[u][0];
}
int main() {scanf("%d%d%d", &n, &m, &s);for (int i = 1; i < n; i++) {int x, y;scanf("%d%d", &x, &y);add(x, y);add(y, x);}dfs(s, 0);while (m--) {int a, b;scanf("%d%d", &a, &b);printf("%d\n", lca(a, b));}return 0;
}

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