本文主要是介绍POJ 1091 跳蚤(分解质因数 + 容斥 + 大数),希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!
跳蚤
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Description
Z城市居住着很多只跳蚤。在Z城市周六生活频道有一个娱乐节目。一只跳蚤将被请上一个高空钢丝的正中央。钢丝很长,可以看作是无限长。节目主持人会给该跳蚤发一张卡片。卡片上写有N+1个自然数。其中最后一个是M,而前N个数都不超过M,卡片上允许有相同的数字。跳蚤每次可以从卡片上任意选择一个自然数S,然后向左,或向右跳S个单位长度。而他最终的任务是跳到距离他左边一个单位长度的地方,并捡起位于那里的礼物。
比如当N=2,M=18时,持有卡片(10, 15, 18)的跳蚤,就可以完成任务:他可以先向左跳10个单位长度,然后再连向左跳3次,每次15个单位长度,最后再向右连跳3次,每次18个单位长度。而持有卡片(12, 15, 18)的跳蚤,则怎么也不可能跳到距他左边一个单位长度的地方。
当确定N和M后,显然一共有M^N张不同的卡片。现在的问题是,在这所有的卡片中,有多少张可以完成任务。
比如当N=2,M=18时,持有卡片(10, 15, 18)的跳蚤,就可以完成任务:他可以先向左跳10个单位长度,然后再连向左跳3次,每次15个单位长度,最后再向右连跳3次,每次18个单位长度。而持有卡片(12, 15, 18)的跳蚤,则怎么也不可能跳到距他左边一个单位长度的地方。
当确定N和M后,显然一共有M^N张不同的卡片。现在的问题是,在这所有的卡片中,有多少张可以完成任务。
Input
两个整数N和M(N <= 15 , M <= 100000000)。
Output
可以完成任务的卡片数。
Sample Input
2 4
Sample Output
12
Hint
这12张卡片分别是:
(1, 1, 4), (1, 2, 4), (1, 3, 4), (1, 4, 4), (2, 1, 4), (2, 3, 4),
(3, 1, 4), (3, 2, 4), (3, 3, 4), (3, 4, 4), (4, 1, 4), (4, 3, 4)
(1, 1, 4), (1, 2, 4), (1, 3, 4), (1, 4, 4), (2, 1, 4), (2, 3, 4),
(3, 1, 4), (3, 2, 4), (3, 3, 4), (3, 4, 4), (4, 1, 4), (4, 3, 4)
Source
HNOI 2001
题目链接:http://poj.org/problem?id=1091
题目分析:不知道数据是有多弱,discuss里说long long就可过,显然随便出一组数据都可能爆long long,所以还是用Java大数写了一发,这题其实就是:
对于一个数列ai,求有多少种排列使得gcd(a[1], a[2], ..., a[n], m) == 1,首先题目已经说了,总的可能是m^n,现在要减去不符合条件的情况,比如gcd为2,gcd为3,注意如果gcd为6,则被减了2次,要加回来,因此这里要用到容斥定理,m^n-gcd由奇数个不同素数相乘得到的情况+gcd由偶数个不同的素数相乘得到的情况,因为m是确定的,因此我们可以对m进行分解质因数,每种gcd集合元素个数可以通过枚举后DFS求解,具体细节见程序
题目链接:http://poj.org/problem?id=1091
题目分析:不知道数据是有多弱,discuss里说long long就可过,显然随便出一组数据都可能爆long long,所以还是用Java大数写了一发,这题其实就是:
对于一个数列ai,求有多少种排列使得gcd(a[1], a[2], ..., a[n], m) == 1,首先题目已经说了,总的可能是m^n,现在要减去不符合条件的情况,比如gcd为2,gcd为3,注意如果gcd为6,则被减了2次,要加回来,因此这里要用到容斥定理,m^n-gcd由奇数个不同素数相乘得到的情况+gcd由偶数个不同的素数相乘得到的情况,因为m是确定的,因此我们可以对m进行分解质因数,每种gcd集合元素个数可以通过枚举后DFS求解,具体细节见程序
import java.util.*;
import java.math.*;public class Main{public static int fac[] = new int[105];public static int re[] = new int[105];public static int cnt = 0, n, m;public static BigInteger fnum;public static void Divide(int x){ //分解质因数for(int i = 2; i <= (int)Math.sqrt(x); i++){if(x % i == 0){fac[cnt ++] = i;while(x % i == 0){x = x / i;}}}if(x > 1)fac[cnt ++] = x;}public static void DFS(int pos, int cur, int num){if(cur == num){BigInteger t = BigInteger.valueOf(m);for(int i = 0; i < cur; i++)//t表示gcd值为num个素数相乘得到时(设乘积为mul)每个元素可能的值即(m / mul)//比如m=18,mul=6时,每个元素可能的值有3个:6 12 18 t = t.divide(BigInteger.valueOf(re[i]));//每个位置有t种选择,共有n各位置,所以当前集合元素个数为t^n fnum = fnum.add(t.pow(n));return;}for(int i = pos; i < cnt; i++){re[cur] = fac[i];DFS(i + 1, cur + 1, num);}}public static void main(String[] args){Scanner in = new Scanner(System.in);while(in.hasNext()){n = in.nextInt();m = in.nextInt();Divide(m);BigInteger extra = BigInteger.ZERO;for(int i = 1; i <= cnt; i++){fnum = BigInteger.ZERO; //fnum存的是gcd集合元素个数DFS(0, 0, i);if(i % 2 == 1) //容斥extra = extra.add(fnum);elseextra = extra.subtract(fnum);}System.out.println(BigInteger.valueOf(m).pow(n).subtract(extra));}}
}
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