leetcode 3077. K 个不相交子数组的最大能量值【划分型dp+式子等价变形】

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原题链接：3077. K 个不相交子数组的最大能量值

题目描述：

给你一个长度为 n 下标从 0 开始的整数数组 nums 和一个 正奇数 整数 k 。

x 个子数组的能量值定义为 strength = sum[1] * x - sum[2] * (x - 1) + sum[3] * (x - 2) - sum[4] * (x - 3) + ... + sum[x] * 1 ，其中 sum[i] 是第 i 个子数组的和。更正式的，能量值是满足 1 <= i <= x 的所有 i 对应的 (-1)i+1 * sum[i] * (x - i + 1) 之和。

你需要在 nums 中选择 k 个 不相交子数组 ，使得 能量值最大 。

请你返回可以得到的最大能量值 。

注意，选出来的所有子数组不需要覆盖整个数组。

输入输出描述：

示例 1：

输入：nums = [1,2,3,-1,2], k = 3
输出：22
解释：选择 3 个子数组的最好方式是选择：nums[0..2] ，nums[3..3] 和 nums[4..4] 。能量值为 (1 + 2 + 3) * 3 - (-1) * 2 + 2 * 1 = 22 。

示例 2：

输入：nums = [12,-2,-2,-2,-2], k = 5
输出：64
解释：唯一一种选 5 个不相交子数组的方案是：nums[0..0] ，nums[1..1] ，nums[2..2] ，nums[3..3] 和 nums[4..4] 。能量值为 12 * 5 - (-2) * 4 + (-2) * 3 - (-2) * 2 + (-2) * 1 = 64 。

示例 3：

输入：nums = [-1,-2,-3], k = 1
输出：-1
解释：选择 1 个子数组的最优方案是：nums[0..0] 。能量值为 -1 。

提示：

1 <= n <= 10^4
-10^9 <= nums[i] <= 10^9
1 <= k <= n
1 <= n * k <= 10^6
k 是奇数。

解题思路：

本题属于划分类型dp，划分类型dp容易看出来，但是看到这个计算公式有点吓人，这个公式怕是不好处理，首先我们不妨定义f[i][j]表示将前j个数划分出i个子数组的最大能量值，当第j个元素不作为第i组的最后一个元素时，f[i][j]=f[i][j-1]，当第j个元素作为第i组的最后一个元素时，对于第i组可以考虑往前延伸，最多延伸到第i个位置，也就是f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][L]+(s[j]-s[L])*w)，因为最少要有i-1个元素才有可能划分出i-1组，每一个组至少一个元素，当然j还可以考虑往后延伸，j往后最多延申伸到第n-k+i个位置，因为前面划分了i个子数组，由于总共需要划分k个子数组，所以后面还需要划分k-i个子数组，至少要留下(k-i)个元素才能划分出k-i个子数组，所以我们就可以确定上述表示中L的范围了，（i<=L<=n-k+i)，此时我们就可以得到了状态转移方程为f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i-1][L]+(s[j]-s[L])*w)，i<=L<=n-k+i)，但是直接这样做需要枚举划分组数，还要枚举当前位置和前一个延伸的位置，时间复杂度为O(n^2*k),n=1e5,这个复杂度肯定过不了，考虑优化，常见的优化方式就是对式子进行等价变形，或者根据某种性质考虑使用某种数据结构进行优化，我们仔细观察可以发现上述式子可以进行等价变形，上述式子变形为f[i][j]=max(f[i][j-1],s[j]*w+f[i-1][L]-s[L]*w)，i<=L<=n-k+i),这个式子中s[j]*w是一个定值，要让值最大就是让f[i-1][L]-s[L]*w最大，其中(i<=L<=n-k+i),可以发现f[i-1][L]-s[L]*w就是前一维，也就是第i-1维的前缀的最大值，我们可以使用一个变量来记录这个前缀最大即可，边枚举j的同时边维护这个前缀最大值，这样就可以优化掉一维，时间复杂度优化为O(n*k),题目说了n*k<=1e6,这个时间肯定是可以过的。

状态定义：

f[i][j]表示前j个元素划分出i个子数组的最大能量值

初始化：

f[0][j]=0，划分0个子数组能量值为0

f[i][i-1]=负无穷，划分i个子数组至少需要i个元素，i-1个元素无法划分出i个子数组，所以初始化为负无穷

状态转移：

f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i-1][L]+(s[j]-s[L])*w)，i<=L<=n-k+i)

等价转换为：f[i][j]=max(f[i][j-1],s[j]*w+f[i-1][L]-s[L]*w)，i<=L<=n-k+i)

最终答案：

最终答案就是将n个元素划分为k个子数组f[k][n]。

时间复杂度：O(n*k)。

空间复杂度：O(n*k)。

cpp代码如下：

typedef long long LL;
const LL mn=-1e18;
class Solution {
public:long long maximumStrength(vector<int>& nums, int k) {int n=nums.size();vector<LL>s(n+1);for(int i=1;i<=n;i++)s[i]=s[i-1]+nums[i-1];vector<vector<LL>>f(k+1,vector<LL>(n+1));for(int i=1;i<=k;i++){f[i][i-1]=mn;  //初始化，至少要i个元素才能划分出i个子数组LL mx=mn;  //记录前缀最大LL w=(k-i+1);if(i%2==0)w*=-1;for(int j=i;j<=n-k+i;j++){mx=max(mx,f[i-1][j-1]-s[j-1]*w);f[i][j]=max(f[i][j-1],s[j]*w+mx);}}return f[k][n];}
};

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