长链剖分 学习笔记

本文主要是介绍长链剖分 学习笔记，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

由于只做了一道题，并没有太深入的理解。主要为了养成写学习笔记的习惯吧，毕竟对很多基础的东西理解都不好。

概念

类似一般树剖的重链剖分，以子树的深度作为关键选出“长儿子”，可将树划分为若干条长链。考虑这样的优美性质：1.类似树剖可证明，每个点到根的路上最多经过$sqrt(n)$条轻边；2.在计算以深度为下标的信息时，对每个点，若要合并它的所有儿子，只需直接继承它的重儿子，暴力合并它的轻儿子即可。这样，每个节点的信息只会在它向上第一个轻边贡献一次，在那之后的都算在它第一次合并到的长链上（因为比它长），所以复杂度时刻$O(n)$的。

实现

容易用vector动态存储每个点的子树的信息，注意并不能同时保存每个点子树的信息（显然空间会炸），所以要求的值都在动态的计算过程中同时计算。
用指针的方式可以实现比较简便的存储，用一个指针数组保存每一个点子树的初始位置。

例题

DTOJ 1980. 谈笑风生（laugh）
题目链接

问题在于求一个点子树内和它距离不超过k的子树大小之和。
考虑对每一个点，用长链剖分求出子树内每个深度的节点的子树大小之和，并且需要做前缀和来回答询问。
但直接维护前缀和不好维护：每该一个深度，会影响到后面的深度。考虑改成维护后缀和，就消除了这样的影响。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=3e5+5;
int n,q,hd[N],to[N<<1],nx[N<<1],tt;
void add(int u,int v){nx[++tt]=hd[u]; to[hd[u]=tt]=v;
}
int fa[N],dp[N],sz[N],mx[N],sn[N];
ll tmp[N],*s[N],*id=tmp,ans[N];
void d1(int u){sz[u]=1; mx[u]=dp[u];for(int e=hd[u];e;e=nx[e]) if(to[e]!=fa[u]){int v=to[e]; fa[v]=u; dp[v]=dp[u]+1; d1(v);if(mx[v]>mx[sn[u]]) sn[u]=v;mx[u]=max(mx[u],mx[v]); sz[u]+=sz[v];}
}
struct node{int d,k;
};
vector<node>h[N];
void d2(int u){s[u][0]=sz[u]-1;if(sn[u]) s[sn[u]]=s[u]+1,d2(sn[u]);for(int e=hd[u];e;e=nx[e]){int v=to[e]; if(v==fa[u] || v==sn[u]) continue;s[v]=id; id+=mx[v]-dp[v]+1; d2(v);for(int i=0;i+dp[v]<=mx[v];i++) s[u][i+1]+=s[v][i];}s[u][0]+=s[u][1];int z=h[u].size();for(int i=0;i<z;i++){node x=h[u][i];ans[x.d]+=s[u][min(1,mx[u]-dp[u])]-((x.k>=mx[u]-dp[u])?0:s[u][x.k+1]);}
}
int main()
{cin>>n>>q;for(int u,v,i=1;i<n;i++) scanf("%d%d",&u,&v),add(u,v),add(v,u);dp[1]=1; d1(1);for(int i=1;i<=q;i++){int p,k; scanf("%d%d",&p,&k);ans[i]=1ll*min(dp[p]-1,k)*(sz[p]-1);h[p].push_back((node){i,k});}s[1]=id; id+=mx[1]-dp[1]+1; d2(1);for(int i=1;i<=q;i++) printf("%lld\n",ans[i]);return 0;
}

这篇关于长链剖分 学习笔记的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

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