LeetCode 2673. 使二叉树所有路径值相等的最小代价【贪心】1917

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本文属于「征服LeetCode」系列文章之一，这一系列正式开始于2021/08/12。由于LeetCode上部分题目有锁，本系列将至少持续到刷完所有无锁题之日为止；由于LeetCode还在不断地创建新题，本系列的终止日期可能是永远。在这一系列刷题文章中，我不仅会讲解多种解题思路及其优化，还会用多种编程语言实现题解，涉及到通用解法时更将归纳总结出相应的算法模板。 为了方便在PC上运行调试、分享代码文件，我还建立了相关的仓库：https://github.com/memcpy0/LeetCode-Conquest。在这一仓库中，你不仅可以看到LeetCode原题链接、题解代码、题解文章链接、同类题目归纳、通用解法总结等，还可以看到原题出现频率和相关企业等重要信息。如果有其他优选题解，还可以一同分享给他人。 由于本系列文章的内容随时可能发生更新变动，欢迎关注和收藏征服LeetCode系列文章目录一文以作备忘。

给你一个整数 n 表示一棵 满二叉树 里面节点的数目，节点编号从 1 到 n 。根节点编号为 1 ，树中每个非叶子节点 i 都有两个孩子，分别是左孩子 2 * i 和右孩子 2 * i + 1 。

树中每个节点都有一个值，用下标从 0 开始、长度为 n 的整数数组 cost 表示，其中 cost[i] 是第 i + 1 个节点的值。每次操作，你可以将树中 任意 节点的值 增加 1 。你可以执行操作 任意 次。

你的目标是让根到每一个 叶子结点 的路径值相等。请你返回 最少 需要执行增加操作多少次。

注意：

• 满二叉树 指的是一棵树，它满足树中除了叶子节点外每个节点都恰好有 2 个子节点，且所有叶子节点距离根节点距离相同。
• 路径值 指的是路径上所有节点的值之和。

示例 1：

输入：n = 7, cost = [1,5,2,2,3,3,1]
输出：6
解释：我们执行以下的增加操作：
- 将节点 4 的值增加一次。
- 将节点 3 的值增加三次。
- 将节点 7 的值增加两次。
从根到叶子的每一条路径值都为 9 。
总共增加次数为 1 + 3 + 2 = 6 。
这是最小的答案。

示例 2：

输入：n = 3, cost = [5,3,3]
输出：0
解释：两条路径已经有相等的路径值，所以不需要执行任何增加操作。

提示：

• 3 <= n <= 10^5
• n + 1 是 2 的幂
• cost.length == n
• 1 <= cost[i] <= 10^4

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解法 贪心

提示 1
考虑根到两个互为兄弟节点（父节点相同）的叶子的两条路径。

由于这两条路径除了叶子节点不一样，其余节点都一样，所以为了让这两条路径的路径和相等，必须修改叶子节点的值。

设叶子节点的值分别为 $x$ 和 $y$ ，假设 $x\le y$ ，是否需要同时增加 $x$ 和 $y$ 呢？

让这两条路径相等，同时修改 $x,y$ 毫无疑问是不必要的。即使考虑到要和其他路径相等，这也是不需要的，我们只用把 $x$ 增加 $y-x$ 就行，因为我们可以==增加它们的祖先节点的值，使它们俩的路径和与其它的路径和相等==，这样可以节省操作次数。

提示 2
对于不是叶子的兄弟节点，又要如何比较和计算呢？

和上面的分析一样，从根到当前节点的路径，除了这两个兄弟节点不一样，其余节点都一样。所以把路径和从叶子往上传，这样就可以按照提示 1 那样比较了。

示例 1 如下图，把节点 $2$ 的路径和视作 $x+5+3=x+8$ ，节点 $3$ 的路径和视作 $x+2+3=x+5$（其中 $x$ 是在节点 $2,3$ 之上的路径和，是等同的），这样可以知道需要把节点 $3$ 的值增加 $(x+8)-(x+5)=8-5=3$ 。

代码实现时，可以直接在 $\text{cost}$ 上累加路径和。由于 $\text{cost}$ 数组的下标是从 $0$ 开始的，所以节点编号转成下标需要减一。

/*** @param {number} n* @param {number[]} cost* @return {number}*/
var minIncrements = function(n, cost) {let ans = 0;for (let i = Math.floor(n / 2); i > 0; i--) { // 从最后一个非叶节点开始算ans += Math.abs(cost[i * 2 - 1] - cost[i * 2]); // 两个子结点变成一样大小cost[i - 1] += Math.max(cost[i * 2 - 1], cost[i * 2]); // 累加路径和}return ans;
};

复杂度分析：

• 时间复杂度：$\mathcal{O}(n)$ ，其中 $n$ 为 $\text{cost}$ 的长度。
• 空间复杂度：$\mathcal{O}(1)$ 。仅用到若干额外变量。

思考题：如果还可以对节点值减一要怎么做？

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