【bzoj2286】【sdoi2011】【消耗战】【虚树+dp】

在一场战争中，战场由n个岛屿和n-1个桥梁组成，保证每两个岛屿间有且仅有一条路径可达。现在，我军已经侦查到敌军的总部在编号为1的岛屿，而且他们已经没有足够多的能源维系战斗，我军胜利在望。已知在其他k个岛屿上有丰富能源，为了防止敌军获取能源，我军的任务是炸毁一些桥梁，使得敌军不能到达任何能源丰富的岛屿。由于不同桥梁的材质和结构不同，所以炸毁不同的桥梁有不同的代价，我军希望在满足目标的同时使得总代价最小。

侦查部门还发现，敌军有一台神秘机器。即使我军切断所有能源之后，他们也可以用那台机器。机器产生的效果不仅仅会修复所有我军炸毁的桥梁，而且会重新随机资源分布（但可以保证的是，资源不会分布到1号岛屿上）。不过侦查部门还发现了这台机器只能够使用m次，所以我们只需要把每次任务完成即可。

第一行一个整数n，代表岛屿数量。

接下来n-1行，每行三个整数u,v,w，代表u号岛屿和v号岛屿由一条代价为c的桥梁直接相连，保证1<=u,v<=n且1<=c<=100000。

第n+1行，一个整数m，代表敌方机器能使用的次数。

接下来m行，每行一个整数k_i，代表第i次后，有k_i个岛屿资源丰富，接下来k个整数h₁,h₂,…h_k，表示资源丰富岛屿的编号。

输出有m行，分别代表每次任务的最小代价。

10

1 5 13

1 9 6

2 1 19

2 4 8

2 3 91

5 6 8

7 5 4

7 8 31

10 7 9

3

2 10 6

4 5 7 8 3

3 9 4 6

12

32

22

【数据规模和约定】

对于10%的数据，2<=n<=10,1<=m<=5,1<=ki<=n-1

对于20%的数据，2<=n<=100,1<=m<=100,1<=ki<=min(10,n-1)

对于40%的数据，2<=n<=1000,m>=1,sigma(ki)<=500000,1<=ki<=min(15,n-1)

对于100%的数据，2<=n<=250000,m>=1,sigma(ki)<=500000,1<=ki<=n-1

题解：显然每次dp整棵树会超时。因为k总共只有500000.所以保存一下每个点到根的路径上最小的边权，每次构建一棵虚树。在虚树上dp一下即可。

简要提一下构建虚树的方法：首先把点按dfs序从小到大排序。先去掉一些点使的剩下的点中没有点为其他点的lca。然后维护一个单调栈。栈里存的始终是一条链。。每次用还未加入的点和该点与栈顶元素的lca更新一下即可。。

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#define N 250010
using namespace std;
int point[N],u,v,w,point2[N],next[2*N],next2[2*N],deep[N],n,m,k,h[N],st[N],cnt,cnt2,top,t;
int f[N][22],ma[N],temp,ff;
long long r[N],d[N];
struct use{int st,en,w;}e[N*2];
struct use2{int st,en;}b[N*2];
bool cmp(int a,int b) {return ma[a]<ma[b];}
void add(int x,int y,int v){next[++cnt]=point[x];point[x]=cnt;e[cnt].st=x;e[cnt].en=y;e[cnt].w=v;}
void add2(int x,int y)
{if (x==y) return;next2[++cnt2]=point2[x];point2[x]=cnt2;b[cnt2].st=x;b[cnt2].en=y;
}
void dfs(int x,int fa)
{ma[x]=++ma[0];for (int i=1;i<=20;i++) if ((1<<i)>deep[x]) break;else f[x][i]=f[f[x][i-1]][i-1];for (int i=point[x];i;i=next[i])if (e[i].en!=fa){deep[e[i].en]=deep[x]+1;f[e[i].en][0]=x;r[e[i].en]=min(r[x],(long long)e[i].w);dfs(e[i].en,x);}
}
int lca(int x,int y)
{if(deep[x]<deep[y])swap(x,y);int t=deep[x]-deep[y];for(int i=0;(1<<i)<=t;i++) if(t&(1<<i))x=f[x][i];for(int i=20;i>=0;i--)if(f[x][i]!=f[y][i]) x=f[x][i],y=f[y][i];if(x==y)return x;return f[x][0];
}
void dp(int x)
{d[x]=r[x];long long temp(0);for (int i=point2[x];i;i=next2[i]){dp(b[i].en);temp+=d[b[i].en];}point2[x]=0;if (temp==0) d[x]=r[x];else d[x]=min(d[x],temp);
}
int main()
{scanf("%d",&n);for (int i=1;i<=n-1;i++) {scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);add(u,v,w);add(v,u,w);}r[1]=(long long)9999999999999;dfs(1,0);scanf("%d",&m);for (int p=1;p<=m;p++){cnt2=0;scanf("%d",&k);for (int i=1;i<=k;i++)scanf("%d",&h[i]);sort(h+1,h+k+1,cmp);int t=0;h[++t]=h[1];for(int i=2;i<=k;i++) if(lca(h[t],h[i])!=h[t])h[++t]=h[i];st[++top]=1;for(int i=1;i<=t;i++){int temp=h[i],ff=lca(temp,st[top]);while(1){if(deep[ff]>=deep[st[top-1]]){add2(ff,st[top--]);if(st[top]!=ff)st[++top]=ff;break;}add2(st[top-1],st[top]);top--;}if(st[top]!=temp)st[++top]=temp;}while(--top)add2(st[top],st[top+1]);dp(1);printf("%lld\n",d[1]);}  
}