【图与网络数学模型】2.基于Python的旅行商问题求解

本文主要是介绍【图与网络数学模型】2.基于Python的旅行商问题求解，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

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一、旅行商问题

1. 概述

旅行商问题（Traveling Salesman Problem, TSP）又译为旅行推销员问题、货郎担问题，简称为TSP问题，是最基本的路线问题，也是组合优化领域的经典问题。

其可描述为一个商人从任意城市出发，不重复不遗漏地访问每一个城市，最后返回出发地，其目标是找出一条包含所有城市的最小路径成本。

2. 示例

如下图所示，其中 1、2、3 和 4 代表城市，与每条边相关的权重表示这些城市之间的距离。

目标是找到最短的游览路径，从原点城市开始，在只访问一次其他城市或节点的同时遍历图表，然后返回原点城市。

3. 解决方案

对于上图，最佳路线是遵循最低成本路径：1-2-4-3-1。

这条最短的路线将花费 10+25+30+15 =80。

方法一：枚举法

• 枚举法即计算所有可能的路径，然后进行比较。

• 由 n 个城市组成的图中的路径数为 n！

方法二：分支限界法

在这种方法中，问题被分解为子问题。解决这些个别子问题将提供最佳解决方案。

1. 建立状态空间树：

   首先，将问题抽象成一个状态空间树，树中的每个节点表示当前的路径状态。初始时，树的根节点代表起始城市，然后根据每次访问的城市不同，逐步扩展出树的各个分支。

2. 计算下界：

   在扩展状态空间树的过程中，需要计算每个节点的下界（或者称为松弛下界），这个下界表示当前路径的长度至少是多少。通常采用启发式算法（如最小生成树算法）来计算下界，以便及时地剪枝。

3. 分支和限界：

   在状态空间树中，当扩展到某个节点时，会考虑从该节点出发的所有可能分支（即所有未访问的城市），对于每个分支，计算其下界，然后根据下界进行排序。然后选择一个具有最小下界的分支进行扩展，而其他分支则被限界或者剪枝。

4. 回溯和更新最优解：

   在搜索过程中，需要不断回溯到上一级节点，同时更新最优解的值。

5. 终止条件：

   当搜索完成所有可能的分支或者达到终止条件时，算法结束，得到最优解。

二、基于Python的旅行商问题求解

1. 导入库

maxsize：初始化最短路径值
permutations 函数：用于生成所有城市的排列组合
V = 4: 设置城市的数量

from sys import maxsize 
from itertools import permutations
V = 4

2. 定义函数

def travellingSalesmanProblem(graph, s): #用于存储除出发城市外的其他城市的索引#遍历所有城市的索引，将除出发城市外的其他城市的索引添加到 vertex 列表中vertex = [] for i in range(V): if i != s: vertex.append(i) #初始化最短路径变量 min_path 为整数的最大值min_path = maxsize #生成除出发城市外的其他城市的所有排列组合next_permutation=permutations(vertex)for i in next_permutation:#初始化当前路径权重变量为0current_pathweight = 0k = s for j in i: # 计算从城市 k 到城市 j 的距离，并将其累加到当前路径权重上current_pathweight += graph[k][j] k = j #计算从最后一个城市回到出发城市的距离，并将其累加到当前路径权重上current_pathweight += graph[k][s] #如果当前路径权重小于最短路径，则更新为当前路径min_path = min(min_path, current_pathweight) return min_path 

3. 问题求解

调用函数，运行程序：

if __name__ == "__main__": graph = [[0, 10, 15, 20], [10, 0, 35, 25], [15, 35, 0, 30], [20, 25, 30, 0]] s = 0print(travellingSalesmanProblem(graph, s))

输出结果：80

三、使用scipy.spatial 软件包求解旅行商问题

1. 导入库

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.spatial import distance
from random import random

2. 创建城市列表

使用 numpy 生成一个包含 50 个随机城市的列表：

cities = np.random.rand(50,2)

3. 计算城市之间的距离

distances = distance.cdist(cities, cities, 'euclidean')

4. 问题求解

def simulated_annealing(distances):num_cities = len(distances)solution = np.arange(num_cities)cost = calculate_cost(solution, distances)for temperature in np.logspace(0,5,num=500000)[::-1]:new_solution = swap_two_cities(solution)new_cost = calculate_cost(new_solution, distances)if acceptance_probability(cost, new_cost, temperature) > random():solution = new_solutioncost = new_costreturn solution, cost

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